数学の単一の理論に一歩近づきます

有名人の証拠から30年後 フェルマトの定理、4人のトップ数学者のグループが、その歴史的発見の背後にある基本的なアイデアを拡大することができました。この偉業で、私たちは一歩近づいています 数学の「単一の理論」、切望されたターゲット Langlandsプログラムとして知られています。

ストーリーの出発点が置かれます 1994年、いつ アンドリュー・ウィルズ、の助けを借りて リチャード・テイラー、与えた 問題に対する決定的な解決策 それは300年以上開いたままでした： フェルマットの定理。しかし、ウィルズの証拠は、この歴史的な数字の理論を単に解決することに限定されませんでした。 基本的なステップは、2つの一見無関係なオブジェクトの接続でした：楕円曲線と明確な（モジュラー）形式。この「橋」により、数学者はある世界から別の世界に移動し、方程式の対称鏡を通して情報を描くことができました。

Langlandsプログラム 彼は、そのようなつながりは楕円曲線に限定されないという考えに生まれました。彼の仮定が確認された場合、膨大な数の数学的オブジェクトは、モジュラーフィギュアの王国に彼自身の「イメージ」を持つでしょう。 これらのミラーを介して数学を探求する能力は、数字のセクター全体に革命をもたらします。

これまで、より複雑な構造に対するこれらの一致の証拠は、ほとんど不可能であると考えられてきました。しかし、4人の数学者 – フランク・カレガリ シカゴ大学から ジョージボクサー そして トビージー インペリアルカレッジロンドンから ヴィンセント・ピロニ フランス国立科学研究センターから – 彼らは、Abelian Surfacesとして知られる方程式の大規模なカテゴリもモジュラーフィギュアに関連付けられることを証明することができました。最近まで閉鎖されていたと見なされていたゲートが再開されました。

アベルの表面は、楕円曲線よりも複雑です。後者は2つの変数（xとy）で説明されていますが、Aveliansは3番目の変数（z）を導入し、より深くより複雑な相互依存性を備えた多次元構造を作成します。この追加の複雑さは、関節の関係を証明するための以前の試みを刺しました。

この課題は、各アベルの表面について、同じ「署名」の数値を持つ定式形式を特定することです。しかし、必要な対称性が数学の可能性を制限するため、このようなフォームの構築は非常に困難です。チームは、これらの表面の特定のタイプである「通常の」Avelian表面で作業することを選択しました。これは、計算に関してより管理しやすいものです。

即時の解決策を見つけられない、 研究者 彼らは、時計の時間のように、指定されたサイクルの後に数値が「繰り返される」算術の形である「数値クロック」を通して問題に近づきました。彼らは絶対的な形ではなく、輪になってカウントすることによって、数字で動作できることが判明しました。絶対レベルでの比較の代わりに、例えば3に基づいて測定すると、アベルの表面とモジュラー形状の数値「トレース」が一致するだけで十分です。

しかし、この単純化でさえ十分ではありませんでした。重要な転換は、サイクル2の測定制限のみでのみ、数値を簡単に計算できるモジュラー形状の大家族を特定したときに発生しました。問題は、ベース2と3の時計間のデータを「橋渡し」することでした。

この重要な時点で、一見無関係な結果 鍋を読んでください 失われた接続は2020年までに証明されました。パンはモジュラー形状の技術を開発しましたが、 最初に読んで、彼らはチームの努力とは関係ありませんでした、彼らはまさに彼らが必要とするツールであることが証明されました。そのテクニックのおかげで、彼らはついに接続を完全に機能させることができました。

2023年の夏、4人の研究者のうち3人がドイツのボンで、集中的な1週間の仕事のためにハウスドルフ研究所の地下で会いました。 4番目のフランク・カレガリは、最後の最後に文字通り中国への旅行をキャンセルし、彼の車が領事館の外でけん引されました。その週、12時間のセッションでいっぱい、果物を生み出しました。 1年と230ページの証明の後、彼らの作品は公開され、現代の数字理論のマイルストーンを構成しました。

この新しい証拠は、より一般的なアベリアの表面への関節を拡大する方法を開いています。チームは、次のステップのためにすでにLue Panと協力しています。 Toby Geeが言うように、彼は次の10年で、ほとんどすべての個々の作品が解決されることを期待しています。

この仕事は単なる技術的な偉業ではありません。新しい地平線を開き、バージョンのような新しい憶測を形成することができます バーチの定理 そして Swinnerton-Dyer Avelian Surfaces用。最近まで、それについて議論するのが理にかなっているかどうかさえ知りませんでした。

として アンドリュー・サザーランド MIT：

かつて夢だった多くのことは、今では実現可能に思えます。この定理はデータを変更します。

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