ビールはどの時点で最も安定するのでしょうか? | 科学のゲーム

特定の人があなたと同じ週に誕生日を迎える確率は、明らかに1/52です（「同じ週」を月曜日から日曜日までの同じ間隔と理解した場合、7日以上離れていない誕生日について話している場合は、確率は実質的に2倍になります）。しかし、7人のグループから2人が 同じ週に誕生日前回の記事で述べたように、直感に反して、その確率ははるかに高くなります。そして、2人が同じ星座である確率はさらに高くなります。

このタイプの他の問題と同様に、何かが起こらない確率を計算して、その補完的な確率を決定する方が簡単です。週の場合と同じアプローチで、より扱いやすい数字を使って、黄道帯の場合に焦点を当ててみましょう。まず、人々に 1 から 7 までの任意の番号を付けます。2 が 1 と同じ星座でない確率は 11/12、3 が 1 または 2 と同じ星座でない確率は 10/12…、7 が他の 6 つのいずれとも同じ星座でない確率は 6/12 です。したがって、これらの一致のいずれも発生しない確率は次のようになります。

11/12 x 10/12 x 9/12 x 8/12 x 7/12 x 6/12 = 約 0.11

したがって、同じ星座の人が少なくとも 2 人いる確率は補完的、つまりほぼ 90% になります。次回、小さな集まりで、2 人のマグファが同じ星座を共有するという驚くべき偶然に運命の兆しを見たときは、数学の不愉快な判決で彼らを困らせることができます (または困らせないでください)。

同じ手順（多少面倒な操作ではありますが）を使用すると、23 人のグループで同じ日に誕生日を迎える人が少なくとも 2 人いる確率が 50% よりわずかに高いことを確認できます (これは直感に反する結果のため、「誕生日のパラドックス」として知られています)。

また、テーブルに置くときに名前を言うカードの場合、どのカードも呼び出しと一致しない確率を計算するのは簡単です。それぞれのカードの確率は 39/40 だからです。したがって、どのカードも名前と一致しない確率は 39/40 の 40 乗、約 0.363 になります。したがって、名前を言うときに少なくとも 1 枚のカードが現れる確率は、約 1 – 0.363 = 0.637 です。3 回のうち 2 回は、名前を言うと少なくとも 1 枚のカードが「魔法のように」現れます。

二等辺三角形とビール缶

直感は、ありそうなことをありそうもないと思わせることで私たちを騙すだけでなく、問題の難易度を推測することでも私たちを騙します。2 つの例を見てみましょう (どうやら、互いに何の関係もないようですが)。

1. 与えられた 二等辺三角形 等辺が 10 cm の三角形の場合、面積が最大になるためには 3 番目の辺の長さはどれくらいにする必要がありますか? これは、三角形の面積を 3 番目の辺の関数として表し、その関数を微分することで解決される、典型的な最大値と最小値の問題のように見えます。実際その通りですが、少し工夫すれば、微分積分に頼らずに解決できます。

1. ビールが満杯の缶は、完全な円筒形で均質であるとすると、重心は円筒の軸の中点になります。缶が空になると、重心が下がり、缶の底のバランスがより安定します（缶の中身を飲み込む人の安定性が失われると想定されるのを補うかのように）。しかし、缶が完全に空になると、缶の重心は軸の中点に戻るため、缶が空になる瞬間があり、その瞬間ごとに重心は最低点に達し、そこから再び上昇します。缶の高さが 20 cm、空のときの重さが 45 g、満杯のときに 360 g のビールが入っている場合、重心が最低の高さにある瞬間に缶に入っているビールの量はどれくらいですか。

再び、微分積分を使って解くべき問題があるようです。プリンストン大学のウォルター・B・ロバーツは、ピクニック中にこの問題を提起し、この方法で解決しました。しかし、その後 (そしておそらく、缶の中身の煙が消えた後)、関数や導関数なしで簡単に解けることに彼は気づきました。

前の 2 つの問題はまったく関連がないように見えますが、(これは最初の問題よりも難しい 2 番目の問題のヒントになりますが) どちらも解決には同じ視点の変更が必要です。文字通り、異なる角度から問題を見ることです。

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