ケーニヒスベルクの 7 つの橋がどのようにして新しい数学を生み出したか

18 世紀、プロイセンの都市ケーニヒスベルクの住人は、名高い 7 つの橋をそれぞれ 1 回ずつ渡る市内の遊歩道をどうやって見つけることができるだろうか、というパズルに取り組みました。

橋は 2 つの大きな島を含む川にかかっていました。 ルートをどれだけ戦略化しても、橋を渡らなければならないことは避けられませんでした。

この問題は地元の思想家らを悩ませ、最終的には有名な数学者レオンハルト・オイラー（「オイラー」と発音）に好奇心を静めるよう懇願する手紙を書いた。 オイラーは、この問題は「数学とはほとんど関係がない」と主張して、否定的な反応を示した。 関連する数学がまだ発明されていなかったので、ある意味、彼は正しかったのです。 最初は難色を示したにもかかわらず、オイラーはケーニヒスベルクの 7 つの橋のパズルを解くことになったが、その過程で数学の 2 つの新しい分野が誕生したことに気づかなかった。

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あなたがケーニヒスベルクの住人だったとします。 上の地図を見て、すべての橋を一度通過する経路を設計できますか? 数学者のように考える必要があります。 数学の問題を解く際の最初のハードルは、重要な要素だけが残るまで無関係な情報を取り除くことです。これは抽象化と呼ばれるプロセスです。 マップの多くの機能は、当面の質問には影響しません。 橋の長さ、陸塊のサイズ、さらには土地と橋の地理的な向きさえもすべて無視できます。 重要なのは、どの土地が他のどの土地と何回接続するかだけです。 これで、土地と橋をそれぞれ表す円と線のみで構成される、より単純な図を作成できるようになりました。

現代の数学用語ではこれを「グラフ」と呼びますが、xy 平面のプロットや棒グラフのような統計的視覚化など、他の無関係な数学的グラフと混同しないでください。 おそらく、混乱を避けるためには「ネットワーク」という用語の方が適切でしょう。 円を「頂点」、線を「エッジ」と呼びます。 現在、グラフ理論は数学とコンピューターサイエンスの主要な分野であり、広範囲に応用されています。 グラフは土地や橋を表す必要はありません。 これらは、ソーシャル ネットワーク、タンパク質相互作用、州境、ニューラル ネットワーク、ワールド ワイド ウェブ、またはペアの関係を含むその他のデータを表すことができます。

抽象化を使用すると、数学者は、旧市街の特定の橋の配置に関する非常に特殊な問題を、すべてのグラフに関する一般的な問題に変換できます。 任意の数の頂点とエッジを持つグラフが与えられた場合、すべてのエッジを正確に 1 回横断するパスは存在しますか? 驚くほど簡単なテストで、どのようなグラフについてもこれに答えることができることがわかりました。すべての頂点 (現在のパズルでは陸塊) について、そこから出ているエッジ (橋) の数を数えます。 これらのカウントがすべて偶数である場合、または 2 つを除くすべてが偶数である場合、パスは存在します。 そうでなければ、そのパスは不可能です。

その理由を調べてみましょう。 各エッジを 1 回交差するグラフを通るパスを想像してください。 そのパスの中央にある頂点 (開始頂点や終了頂点ではない) を考えてみましょう。 その頂点に多くのエッジがある場合、パスはその頂点を複数回訪問することになりますが、頂点に入るたびに、別のエッジを経由して頂点から出る必要もあります。 したがって、パスの中央にある頂点にアクセスするたびに、 二 エッジが訪問されます。 これは、パスの中央にあるすべての頂点に偶数のエッジがある場合にのみ機能します。 パスの開始点と終了点だけが例外です。これは、開始頂点に入る必要がなく、終了頂点から出る必要もないためです。 したがって、奇数のエッジを持つちょうど 2 つの頂点がある場合、それらの頂点で開始および終了すれば、パスは可能です。 すべての頂点に偶数のエッジがある場合、同じ頂点で開始および終了し、ループを形成するパスが存在します。

この議論はグラフ理論の最初の結果と考えられており、すべてのエッジを 1 回訪れるグラフを通るパスは現在オイラー パスと呼ばれています。 技術的には、オイラーの議論はオイラー経路を不可能にする条件のみを説明しており、そのような経路がこれらの条件下で常に存在するという証明は後で行われました。 私たちが学んだことをケーニヒスベルクの橋に適用すると、4 つの頂点すべてから奇数のエッジが発せられていることがわかります。これは、悲しいことに、プロイセンのアンブラーが探索したのは無駄だったということです。

ここで、奇妙な余談を述べておきます。 すべてを訪問するグラフを介してパスを見つける バーテックス (この例では橋ではなく土地) まさに 1 回だけでは、密接に関連した問題のように思えますが、実際にはまったく別の問題です。 簡単なテストでグラフにオイラー パスが含まれているかどうかを判断できますが、この頂点に焦点を当てたバリアントに対する一般的な効率的な手順はわかりません。 この変形はハミルトン経路問題と呼ばれ、計算的に解決できないと広く信じられている問題のクラスに属します。

オイラーは最初は橋の問題を冷笑していましたが、最終的にはいつものツールキットでは解決できないことに引き込まれました。 彼は友人にこう書いている。「この問題はとてもありきたりなものだが、幾何学も代数学も、数え方さえもそれを解くのに十分ではなかったという点で、私には注目に値する問題のように思えた。」 当時、幾何学は距離、角度、面積などの定量的な概念に関係していました。 しかし、橋の問題は本質的に幾何学的であるように見えましたが、いかなる種類の測定も必要としませんでした。 この問題には、問題の中心にあるペアごとの接続を尊重しながら、伝統的な幾何学的な量を無視した新しい抽象化が必要でした。

ケーニヒスベルクの地図を必要最小限のグラフに縮小するというアイデアは、後から考えると明白に思えるかもしれませんが、優れた抽象化の多くはそれを実現しています。 数学の歴史は抽象化の力の物語を物語っています。 古代の数学的頭脳がオレンジ、真珠、さらには地球についての定量的な質問を持っていたなら、彼らはそれぞれの新しい課題に取り組むための特注の言語と技術を開発することができます。 しかし、これらの異なるように見えるオブジェクトがすべて、同じ高次の実体である球体をインスタンス化していることを認識すると、この取り組みは非常に簡単かつ明確になります。 抽象化に名前と定義を与えると、一度も会ったことのない人でも、車輪を再発明することなく、互いの成果を基にして構築できるようになります。

オイラーの論文は、グラフ理論の分野を立ち上げただけでなく、トポロジーと呼ばれる数学の別の主要な分野の種も蒔きました。 トポロジーとは、物体が高弾性のゴムでできているかのように、物体を伸ばしたり、圧縮したり、変形させたりした場合でも維持される幾何学的特性の研究を指します。 したがって、1 つのレベルの抽象化では、オレンジ、山、サイコロなどの現実世界のオブジェクトからその形状 (球、ピラミッド、立方体) が得られましたが、トポロジーでは、球、ピラミッド、立方体をインスタンス化したものとして見る 2 番目の抽象レベルが導入されます。さらに高次の存在。 トポロジストは、これらの固体を等価であると見なします。ドーナツとは異なり、ゴムのような世界で他の固体に成形できるためです。ドーナツは、どんなに伸ばしても穴が維持されます。

ケーニヒスベルクの地図の量的詳細を抽象化することによって、オイラーは、数千年にわたってこの主題を支配してきた距離と角度の量的詳細から解放された、新しい種類の幾何学的思考への扉を開いた。 グラフ理論とトポロジーは今日も新しい数学的洞察をもたらし続けており、私たちは昔の散歩者の文明に感謝する必要があります。