なぜゼロが数学すべてにおいて最も重要な数字なのか

数学全体の中で最も重要な数字は何ですか?そうですね、それはかなり愚かな質問です – 無限の可能性の中から、どうやって選択することができますか?私は、2 番や 10 番のような大打者のほうが、何兆ドルもの大金の中からランダムに選ばれた選手よりも、より良い栄冠を手にできると思いますが、実際には、それでもかなり恣意的なものになるでしょう。それにもかかわらず、私は最も重要な数字、ゼロがあると主張したいと思います。あなたを説得できるかどうか見てみましょう。

ゼロの数学的パンテオンの頂点への上昇は、典型的な英雄の旅のように、謙虚な起源から始まります。実際、約 5000 年前にそれが始まったとき、それは実際にはまったく数字でさえありませんでした。当時、古代バビロニア人は数字を書くために線とくさびからなる楔形文字を使用していました。これらは割符に似ており、ある種類のマークは 1 から 9 までの数字を表し、別の種類のマークは 10、20、30、40、50 を数えるものでした。

これらのマークを使用すると 59 まで数えることができますが、60 になったらどうなるでしょうか?そう、バビロニア人は、60 と同じ記号を 1 に使用して、単純にやり直しました。この 60 を基数とする記数法は、60 が他の多くの数で割り切れ、計算が簡単になるため便利でした。それが、私たちが今日でも時刻を知るためにこの法を使用している理由の 1 つです。しかし、1 と 60 を区別できないのは大きな欠点でした。

つまり、解決策はゼロか、少なくともそれに近いものでした。バビロニア人は、今日の私たちと同じように、数字の欠如を示すために斜めに 2 つのくさびを使用し、他の数字を正しい場所に配置できるようにしました。

たとえば、現代の番号体系では、3601 は 3,000、600、0 の 10、1 を意味します。バビロニア人はこれを 60 60、0 10、1 と書きますが、位置のゼロがなければ、これを表す記号は 1 60 と 1 とまったく同じになります。しかし重要なのは、バビロニア人は実際にゼロを使って位置を数えたわけではなく、句読点や次の数字にスキップするためのリマインダーのようなものでした。

この種のプレースホルダー 0 は、他の古代文化でも数千年にわたって使用されてきましたが、すべての古代文化で使用されたわけではありません。特にローマ人にはゼロがありませんでした。これは、ローマ数字が位置番号体系ではなく、X がどこにあっても常に 10 を表すためです。ゼロの次の進化は 3 まで来ませんでした。^rd 少なくとも現在のパキスタンで発見された文書によれば、紀元後世紀。これには位置ゼロとして使用される何百ものドット記号が含まれており、最終的に今日私たちが知っている 0 に進化したのはこの記号でした。

それでも、ゼロを単なるプレースホルダーではなく、それ自体の数字として考えるには、さらに数世紀待たなければなりません。これは、西暦 628 年頃、インドの数学者ブラーマグプタによって書かれたブラーマスプフタシッダーンタと呼ばれる文書に初めて登場します。彼以前の多くの人は、たとえば 2 から 3 を減らそうとすると何か奇妙なことが起こることに気づいていましたが、そのような計算は伝統的にナンセンスとして無視されてきました。ブラフマグプタはこの考えを最初に真剣に受け止め、負の数とゼロの両方を使った算術を説明しました。ゼロの操作方法に関する彼の定義は、1 つの重要な例外を除いて、私たちの現代の概念にかなり近いものです。それは、ゼロで割るとどうなるかということです。ブラフマグプタは 0/0 = 0 と言いましたが、ゼロで割った他の数については曖昧でした。

この疑問に対する真の答えが得られるまでにはさらに 1,000 年かかるでしょう。そして、それは数学者の武器庫の中で最も強力なツールの 1 つである微積分を生み出すでしょう。 17 世紀にアイザック ニュートンとゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツによって独立して開発されました。^番目 世紀以来、微積分には無限小の数、つまり実際にはゼロではなく、できるだけゼロに近い数の操作が含まれます。本質的に、infinitesimals を使用すると、ゼロで除算するというアイデアに実際に到達することなく忍び寄ることができ、これが非常に便利であることがわかります。

その理由を知るために、少しドライブしてみましょう。車をどんどん速く運転していて、徐々に足を下ろして加速を高めているとします。車の速度は方程式 v = t² で表すことができます。ここで、t は時間を表します。たとえば 4 秒後、速度は 0 から始まり 16 メートル/秒になります。しかし、その間にどのくらいの距離を移動したでしょうか?

距離は速度と時間の積に等しいため、16 に 4 を乗算して 64 メートルを求めることができます。しかし、それが正しいはずはありません。最高速度 16 m/s に達したのは最後だけだからです。おそらく、移動を半分に分割し、前半を 4 m/s で 2 秒間移動し、次に 16 m/s で 2 秒間移動することもできます。これにより、距離は 4 x 2 + 16 x 2 = 40 メートルになります。しかし、実際のところ、これは過大評価です。なぜなら、私たちはまだこの 2 つの半分の最高速度に依存しているからです。

推定の精度を高めるには、特定の地点での移動速度と、その地点で実際に費やした時間のみを乗算するように時間枠を短縮する必要があります。そして、ここでゼロに遭遇します。 v = t² をグラフにプロットし、以前の推定値を重ね合わせると、最初の推定値は完全には一致せず、2 番目の推定値がより近い値であることがわかります。最も正確な測定値を取得するには、行程を長さ 0 秒の時間枠に分割し、それらを合計する必要があります。しかし、それにはゼロで割る必要があり、それは不可能です。少なくとも、微積分が発明されるまでは不可能でした。

ニュートンとライプニッツは、実際にゼロ除算をしなくてもゼロ除算に近づくことができるトリックを考案しました。微積分の完全な説明はこの記事の範囲を超えていますが (興味がある場合はオンライン コースをお試しください!)、彼らの方法は、t² の積分または t³/3 である本当の答えを明らかにします。これにより、距離は 21 1/3 メートルになります。これは一般に曲線下面積とも呼ばれますが、次のようにグラフ化すると、より明確になります。

微積分は、車の走行距離を計算すること以外にも、はるかに多くの用途に使用されています。実際、物理学から化学、経済学に至るまで、変化する量の理解に関係するほぼすべての用途に微積分が使用されています。これらはいずれも、ゼロと、その恐るべき力を行使する方法の理解がなければ不可能です。

しかし私にとって、ゼロの真の名声は19世紀後半に生まれる。^番目 そして20代前半^番目 何世紀にもわたって、数学が存亡の危機に陥っていた時代。数学者や論理学者は自分たちの主題の基礎を探り、危険な穴を発見することが増えていました。事態をしっかりさせる取り組みの一環として、彼らは、これまで明白で正式な定義が必要ないと考えられていた数学的対象 (数値自体も含む) を厳密に定義し始めました。

数字とは一体何なのでしょうか？ 3 のような単語や 3 のような記号であってはなりません。これらは、3 性の概念に私たちが付けた恣意的なラベルにすぎないからです。リンゴ、ナシ、バナナなどのオブジェクトの集合を指して、「このボウルには果物が 3 個入っています」と言うことができますが、それでもその基本的な性質には到達していません。私たちに必要なのは、抽象的に数えて「3」と呼ぶことができるコレクションに入れることができるものです。現代数学はまさにそれを、ゼロを使って行います。

数学者はコレクションではなく集合について話します。つまり、果物の例は {リンゴ、洋ナシ、バナナ} となり、波括弧は集合を示します。集合論は現代の数学の基礎の基礎です。これは数学の「コンピューター コード」のようなものと考えることができます。論理的な一貫性を確保し、数学者が発見した基礎的な穴の一部を回避するために、すべての数学的オブジェクトは最終的に集合に関連して記述される必要があります。

数学者は数値を定義するために、「空集合」、つまりオブジェクトがゼロの集合から始めます。これは {} と表記することもできますが、理由は後で明らかになるため、∅ と書く方が便利です。空のセットを取得したら、残りの数値を定義できます。ワンネスの概念は 1 つのオブジェクトを含むセットであるため、そこに空のセットを入れましょう: {{}} または {∅} の方が目に優しいです。次の数字 2 には 2 つのオブジェクトが必要です。最初のものは空集合である可能性がありますが、2 番目のものはどうなるでしょうか?さて、オブジェクトを定義するときにすでに別のオブジェクト (空のセットを含むセット) を作成しているので、それを使用しましょう。これにより、2 つを定義するセットは {∅, {∅}} のようになります。 3 は {∅, {∅}, {∅, {∅}}} となり、好きなだけこれを続けることができます。

言い換えれば、ゼロは単に最も重要な数字というだけではなく、ある意味、それが唯一の数字なのです。任意の数値の内部を覗いてみると、その数値がずっとゼロであることがわかります。かつては単なるプレースホルダにすぎないと考えられていたものとしては悪くありません。