私たちは2300年にわたって数学について間違っていました

キャッチーなタイトルですが、何かがあります。ユークリッドの時代以来、私たちは数学の性質に関する欠陥のある仮定の下で動作してきました。誰もが何かが間違っていることを知っていて、誰もが混乱していました。良いニュースは、私たちがついにこれを修正する立場にいるかもしれないということです。

この問題に慣れていない場合は、ウィキペディアからのこの引用をご覧ください。

数学者の間で、学問分野の共通の定義について一般的なコンセンサスはありません。

考えてみてください。何十億もの子供が数学を勉強することを余儀なくされていますが、それが何であるかについて同意することすらできません。何を推測しますか？うまくいきません。

賭け金は透明です。私たちは奇妙な動物に直面しています。これは、実際の社会的影響に関する形而上学的な問題です。数学者がマーケティング101をスキップしていなかった場合、彼らは問題をもっと心に留めていたでしょう。説明できない製品を販売できないように、定義できない主題を教えることはできません。

歴史的に、数学を定義するための2つの競合するアプローチがありました。

1. それが研究することを通して：数字、形、構造、…

2. それがどのように機能するかを通して： 公理、定理、証明、…

これらの2つのアプローチは、2つの一般的な「哲学的学校」と一致しています。

1. プラトニズム： アイデアのエーテルの領域には、数学的なオブジェクトが「存在します」。

2. 形式主義： 数学は、超越的なセマンティクスがゼロの構文控除の機械的なゲームです。

このフレーミングは少し人工的であるため、「哲学的学校」の周りに引用符を付けました。実際、両方のポジションは同様に受け入れられないことが知られています。彼らは、ルーベン・ハーシュのこの素晴らしいクイップによって完全に捉えられているように、数学者がナビゲートしなければならない「偏見」のようなものです（彼の偉大な1979年の記事から、推奨される読み取り）：

典型的な「働く数学者」は、平日はプラトン奏者であり、日曜日はフォーマリストです。

ここでは本当に奇妙なことが起こっています。ページ上の不可解なシンボルが何か「存在する」と「プロパティを持っている」という実際の「オブジェクト」を「表現」することを想像せずに数学をすることはできません。しかし、あなたは意味のない形式主義以外のものにこの活動を接地することはできません。

私の仲間の数学者の多くのように、私はこの「哲学的なlight状」を直接経験し、それが深く不安定になっていることがわかりました。 私の個人的な無能さを理解できないことは、数学に興味のある重要な要因でした そして、ある意味では、数学が本当に何であるかを理解できなかったので、私は研究数学者になりました。

ある時点で、私は「数学の哲学」と呼ばれる不可解な分野を研究しました。ハーシュがそれについて書いていることは、私自身の経験に共鳴します：

数学者自身が数学を取り巻く哲学的問題についてめったに議論することはありません。彼らは、他の誰かがこの仕事の世話をしていると仮定しています。私たちはそれを専門家に任せます。

しかし、専門家の哲学者は、ほとんど例外ではありませんが、プロの数学者にはほとんど言うことはありません。確かに、彼はプロの数学者がしていることの遠隔的で不十分な概念しか持っていません。

最終的に、ハーシュは続けます、数学者はあきらめて「数学をする」だけです。

したがって、数学の哲学的問題について生徒にまったく教えている場合、関心のある問題は1つしかないということです…その問題は完全に手に負えないようです。

それにもかかわらず、もちろん、私たちは数学をあきらめません。私たちは単にそれについて考えるのをやめます。ただ する それ。

アクティブな「数学の哲学者」は非常によく反対する可能性があり、ハーシュの記事から45年間に起こった意味のある発展を正当に指摘しています。しかし、キャリア数学者の一般的な態度はあまり変わっていません。彼らの多くは、これらの実用的なガイドラインによって生き続けています。

• 数学は定義するのが難しく、それは人生の事実です。

• 数学の哲学は、クランクと敗者向けです。

• 数学をするときに何をするかを知っているので、数学を定義する必要はありません。

彼らの多くは、最後の項目には、数学の暗黙の定義と同様に、強力で潜在的な哲学的スタンスが含まれていることさえ認識していません。 「数学は数学者がしていることです。」

ハーシュの結論は、この3番目のアプローチは、偽のプラトニズム対形式主義の議論から抜け出す方法であるということです。

プラトニズムと形式主義の代替案は、いくつかの非ヒトの現実に数学を根付かせる試みに由来しています。数学を確立するという義務を告知的な真実の源として確立する義務を放棄すると、その性質をある種の人間の精神活動として受け入れることができます。

サーストンは、彼の有名なエッセイで同様の道を歩んでいます 数学の証拠と進歩について （別の素晴らしい読み物）。

私はハーシュとサーストンの両方に同意しますが、私たちはさらに一歩進んで実際に行く必要があると思います 特徴づけられます この「特定の種類の精神活動」（私の見解では、それらのどれも説得力を持って行われていません。）

本質的な出発点は、数学を行うことの意味とそれがどのように感じるかについての数学コミュニティ内の潜在的なコンセンサスです。

私はこのコンセンサスを一般聴衆の本に文書化しようとしました、デカルト、グロテンディック、サーストンの著作、そして数学者としての私自身の経験に基づいています。本は確かに完璧ではありませんが（誰もがすべてに同意するわけではありません）、圧倒的に前向きなフィードバック（アベル賞受賞者やフィールドメダリストから高校の教師や生徒まで）は、このコンセンサスの存在の強力な指標です。

本のコアメッセージを数学の暫定的な定義に再パッケージ化する前に、中世ヨーロッパで最もホットな哲学的議論の1つを通して余談をさせてください。 ユニバーサルの口論。

一言で言えば、「ユニバーサル」は、特定の個人から切り離された概念、美しさ、丸み、若者…これらのレベルの現実が「存在する」のか？議論は哲学そのものと同じくらい古く、ある意味では、プラトニズムと形式主義の議論を反映しています。

• リアリズム プラトニズムに似ています。それは、理想のエーテルの領域には普遍的な存在が本当に存在すると主張しています。

• 名義主義 形式主義に似ています。それは、普遍的であると言語の単なる慣習であると主張しています。

これらの立場は、少なくともプラトンとアリストテレスから文書化されていますが、議論は12世紀に復活し、第三の立場の出現で復活しました。

概念主義は、Polymath＆Firebrandによって導入されました ピーター・アベラード、「12世紀のデカルト」、そして後に擁護された オッカムのウィリアム。

概念主義はしばしば名目主義の風味として描かれていますが（超越的なエンティティに対する現実主義者/プラトン主義者の信念を拒否するため）、バニラの名目主義からの大きな逸脱をもたらします。 私たちの脳に存在するもの。

深い学習、潜在的な特徴、スパース性との個人的な出会いが私を急進的な概念主義者に変えたまで、私は個人的に数学を理解することができませんでした。

この視点が数学の基礎に関する議論にもたらすものを説明させてください。

数学を「特定の種類の精神活動」として特徴づけたい場合は、この活動のすべての詳細を説明する必要があります。誰もが同意する傾向があります。

• 正式な控除システムへの依存、

• 声明は真または虚偽であり、証明は言語の「現実世界」の特性と一致しない不思議な硬直方法で100％弾丸にならなければならないという概念は、

• 既存のコンセプトから新しい概念を作成するための建設的なアプローチは、まるで定義でLEGOをプレイするかのように。

何千年もの間、周りの最も賢い人々は、コンボ全体を理解するのに苦労してきました。さらに、数学的概念（数字、形状、構造など）が実際の「オブジェクト」であるという奇妙な「プラトニック感」がありました。

この厄介な状況は、デカルトの二元論からガリレオのテイクに至るまで、さまざまな解釈を育みました。 「数学は宇宙の言語です」、フリージの論理から、ヒルバートの形式主義からラマヌジャンの神秘主義に至るまで、ブロウワーの直観主義まで。

私の中心的な主張は、私たちがこの物語のターニングポイントにいるということです。私たちがより賢いからではなく、最近の神経学と機械学習の進歩が何世紀も前のつまずきのブロックを取り除くのに役立つからです。認知を脳内で概念が「出現」する動的な学習プロセスと見なすと、すべてがより明確になります。

これ以上苦労することなく、数学が実際に何であるかについての私の提案された「概念主義的コンセンサス」は次のとおりです。

1. 数学は「真実のゲーム」を演じることに基づいた人間の精神活動です。 する 数学、私たちは作る あたかも 概念には、時間の経過とともに完全に安定した正確な定義がありました、 あたかも ステートメントにはバイナリ「真実」の値がありました。 あたかも レゴを演奏し、既存のものから新しい真の声明を推測することができます。

2. それはです 想像上の活動 支持されています シンボリックライティングシステム 真実のゲームのルールをエンコードします。

3. 想像上の活動として、数学は神経可塑性の推進力です。これは、数学の議論の余地のない「プラトニック感」を説明しています。数学的抽象化を想像するのに十分な時間を費やすと、それらが本当に存在するかのように「知覚」することになります。

興味深いことに、この見解は両方とも100％合意です（それが何を意味するかの詳細に挑戦する人はいません する 数学）および100％挑発的（ほとんどの人は、数学が「想像上の」活動であるという概念に対してひざの反応を持っています。）

多くの人は、数学はまさにそれではないこと、そして何らかの「超越的な」次元を持たなければならないことに反対します。私の意図は、誰かをトロールすることではなく、私の見解では、根本的な概念主義的な姿勢によってのみ解決できる多くの側面を明確にすることです。これらの重要な精度を追加させてください：

1. 数学は想像力に基づいていると言うのは軽rog的ではありません。アインシュタイン、デカルト、グロテンディエック、サーストンのような人々は皆、数学における想像力の重要性を主張しており、彼らはそれを前向きに意味していました。

2. 同様に、「意味」と「真実」が認知現象であると言うのは軽rog的ではありません。そうではありません 目が覚めた どちらか。それは、人間の認知に関する実用的で科学主導の概念主義的見解です。言語には、象徴的な側面（ページ上の発言またはインク）とセマンティック側の2つの側面があります。コアでは、概念主義者は、アイデアの世界へのシャーマニックなアクセスではなく、セマンティクスを認知プロセスとして解釈する人です（したがって、プラトン奏者、現実主義者、スピリチュアリストによるセマンティクスの伝統的な解釈から壊れる）。

3. 想像上 意味がありません 任意：真実のゲームのルールはランダムではなく、実際には歴史上最大の発明かもしれません。私たちがこれらのルールに従うとき、私たちの精神的なイメージは統合し、めちゃくちゃ強力な一貫した世界観に結晶化します。

会話の哲学的（そして物議を醸す）部分は魅力的ですが、気を散らすものではありません。実用的な（そして合意に基づいた）部分は、この先見の明のある発言でハーシュが予想しているように、本当の実体がある場所です。

真実と意味の問題は、論理または設定された理論のいくつかの再調整分野では技術的な問題ではありません。彼らは数学を使用または教えている人に立ち向かいます。私たちが望むなら、私たちはそれらを無視することができます…これが実際的な結果がなかったら驚くでしょう。

「数学をする」ことが実際に伴うものの詳細について私に同意した場合、あなたは部屋の象に気づき始めるかもしれません：私たちは無意味なプラトニズムと形式主義の議論に巻き込まれている間、私たちは積極的な想像力が数学的理解の重要なステップであることを伝えることができませんでした。

「数学を吸う」、または「直感を持たない」人々が、正しい想像力のテクニックを実践する機会がなかった人、つまり正しい方法で神経可塑性を刺激する人々だったらどうでしょうか？または、それが遅いプロセスであることを知らずに、あまりにも早くあきらめたのは、あなたが海で完全に失われたと感じたとしても、ある程度の主張を必要とすることを必要とします（キャリア数学者の間で開かれた秘密）？

途中で、数学の最も説得力のある価値提案を明確にすることもできませんでした。 数学はあなたをより賢くする想像力のテクニックです。

これは私が私の本を書いていたときに本当に私を襲ったものです。デカルト、グロテンディエック、サーストンを並行して読んだら、彼らはほぼ想像力だけを話すことに気づき始めます。それぞれは、偶然に発見され、彼らが教えられていたことを破る新しいモダリティでの想像力の使用について説明しています。彼らは皆、これを彼らの成功の秘密と見なしています。この数学の次元を伝えないと、不可欠な部分がありません。