数学と物理学はすべての真実を証明できるわけではない

数学と物理学はすべての真実を証明できるわけではない

マノン・ビショフ

すべての数学的真実を証明することは決してできません。私にとって、クルト・ゲーデルによって発見されたこの不完全性定理は、数学における最も驚くべき成果の 1 つです。誰もが驚くことではないかもしれません – 日常生活にはあらゆる種類の証明できないことが存在します – しかし、数学者にとって、この考えは衝撃でした。結局のところ、彼らはいくつかの基本的な構成要素、いわゆる公理から独自の世界を構築することができます。そこでは彼らが作成したルールのみが適用され、すべての真実はこれらの基本的な構成要素と対応するルールで構成されます。専門家は、適切なフレームワークを見つければ、何らかの方法であらゆる真実を証明できるはずだと長年信じてきました。

しかし、1931 年にゲーデルはそうではないことを証明しました。基本的な数学的枠組みを回避し、証明することが不可能な真実は常に存在します。そして、これは純粋に抽象的な発見ではなく、実際の状況に影響を及ぼしません。ゲーデルの画期的な研究の直後、最初の証明不可能な問題が現れました。たとえば、現在使用されている数学的枠組みの中で実数がいくつ存在するかを明らかにすることは決して不可能です。そして、解けない問題は数学に限りません。たとえば、特定のカード ゲームやコンピュータ ゲーム (マジック: ザ ギャザリングなど) では、どのプレイヤーが勝つかを判断できない状況が発生することがあります。また、物理学では、結晶系が電気を通すかどうかを常に予測できるわけではありません。

現在、ユニバーシティ・カレッジ・ロンドンの物理学者トビー・キュービットを含む専門家は、不完全性定理を物理学に反映する別の方法を発見した。彼らは、相転移、つまり水が摂氏 0 度以下で凍結するときの変化に似た変化を起こす粒子系について説明しました。しかし、この粒子系で相転移が起こる重要なパラメータは できない 水とは異なり、計算されます。 「我々の結果は…物理システムにおいて計算不可能な数値がどのように現れるかを示している」と物理学者らはサーバーarXiv.orgに先月投稿されたプレプリント論文で書いている。

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決定不可能な相転移

専門家が予測不可能な相転移に遭遇したのはこれが初めてではない。 2021 年に遡ると、キュービットと彼の同僚 2 名は、遷移が予測できない別の物理システムについて説明しました。ただし、その場合、無限の数の相転移が可能になります。このような状況は自然界では起こりません。そこで研究者らは、現実的なシステムで予測不能な事態が起こり得るかどうかを自問した。

新しい研究で、キュービットと彼の同僚は、非常に単純なシステム、つまり、それぞれが最も近い粒子と相互作用するいくつかの粒子の配列を含む有限正方格子を研究しました。このようなモデルは通常、固体を記述するために使用されます。これは、それらの原子が規則的な構造に配置されており、その電子がすぐ周囲の原子の電子と相互作用できるためです。 Cubitt のモデルでは、電子間の相互作用の強さはパラメータに依存します。 f—より大きい f つまり、原子殻内の粒子がより強く相互に反発します。

反発なら f が小さいと、外側の電子は移動可能になり、原子核間を行き来できます。強いほど f つまり、電子がその場所でより多く凍結します。この異なる動作はシステムのエネルギーにも反映されます。基底状態 (総エネルギーが最も低い) と次に高いエネルギー状態を確認できます。もし f が非常に小さいため、システムの総エネルギーは継続的に増加する可能性があります。その結果、システムには問題なく電気が流れます。大きな値の場合、 ふ、 しかし、状況は異なります。このような値では、エネルギーは徐々にしか増加しません。基底状態と最初の励起状態の間にはギャップがあります。この場合、ギャップのサイズに応じて、システムは半導体または絶縁体になります。

今日まで、物理学者はあらゆる種類の固体や結晶を記述するために何千もの同様のモデルを作成してきました。しかし、Cubitt らによって提示されたシステムは 2 つの異なる動作を示すため、伝導相と絶縁相の間には転移が存在するはずです。つまり、次の値があります。 f これを超えると、システムのエネルギースペクトルに突然ギャップが生じます。

計り知れない数字

キュービットと彼のチームは、次の価値を決定しました。 f このギャップが発生する場所。そして、これは、いわゆるチャイティン定数 Ω に対応します。この数値は、計算できない数少ない既知の例の 1 つであるため、数学オタクには馴染みがあるかもしれません。これらは、小数点以下の桁が永遠に続き、規則的に繰り返されることのない無理数です。 π や などの計算可能な無理数とは対照的に、 え、 ただし、計算不可能な数値の値を任意の精度で近似することはできません。無限に長く実行した場合に Ω が出力されるアルゴリズムはありません。 Ω を計算できない場合、キュービットらによって研究された系で相転移がいつ起こるかを特定することもできません。

アルゼンチン系アメリカ人の数学者グレゴリー・チャイティンは、まさに計算不可能な数を見つける目的でΩを定義しました。これを行うために、彼はコンピューターサイエンスの有名な停止問題を使用しました。それによると、考えられるすべてのアルゴリズムについて、それらを実行しているコンピューターがある時点で停止するかどうかを判断できるマシンは存在しません。コンピュータに何らかのアルゴリズムを与えれば、そのアルゴリズムが有限時間内に実行できるかどうかを判断できるかもしれない。しかし、考えられるすべてのプログラム コードに対してこれを実行できる方法は明らかにありません。したがって、停止問題はゲーデルの不完全性定理を直接適用したものでもあります。

Chaitin 定数 Ω は、コンピューター (チューリング マシン) の理論モデルが特定の入力に対して停止する確率に対応します。

この方程式では p | は、有限の実行時間の後に停止するすべてのプログラムを示します。p|プログラムの長さをビット単位で表します。 Chaitin 定数を正確に計算するには、どのプログラムが保持され、どのプログラムが保持されないかを知る必要がありますが、保持問題によれば、これは不可能です。 2000 年に数学者のクリスティアン・カルードと彼の同僚は、チャイティン定数 0.0157499939956247687… の最初の数桁を計算することに成功しましたが、小数点以下の桁をすべて見つけることは決して不可能です。

したがって、キュービットのチームは、彼の物理モデルが次の値で相転移することを数学的に証明することができました。 f = Ω: 導体から絶縁体になります。ただし、Ωは正確に計算できないため、物理システムの相図も定義されません。はっきり言っておきますが、これは現在のコンピューターの能力が十分ではないという事実や、問題を解決するのに十分な時間がないという事実とは何の関係もありません。このタスクは明らかに解決不可能です。 「私たちの結果は、計算不可能な数字が、 出現する 基礎となる微視的なデータがすべて完全に計算可能である場合でも、物理学に似たモデルの相転移点として機能します」と物理学者は論文に書いています。

技術的には、Chaitin 定数を指定できる精度は、実際のアプリケーションには十分なものです。しかし、キュービットと彼の同僚の研究は、ゲーデルの洞察がいかに信じられないほど広範囲に及ぶかを改めて示しています。 90年以上経った今でも、証明できない発言の新たな例が存在します。おそらく、万物の理論の探求など、広範囲にわたる物理的問題がゲーデルの不完全性定理の影響を受ける可能性があります。

この記事は最初に掲載されました 科学のスペクトル 許可を得て転載しました。