不可解な異常数値 | 科学

レギュラーコメンテーターのラファエル・グラネロが次のように答えています。 先週の質問:

10 進対数が 0 から 2 までの数とは、1 から 100 までの数です。これは次の理由によります。

logd(1) = 0

ログd(100) = 2

したがって、1を満たす任意の数x

0.01 の小数対数

0.01 の小数対数は -2 です。

これは次のように理解できます: logd(0.01) = logd(1/100) = logd(1) – logd(100) = -2

9、30、1/3 の 10 進対数

logd(3) = 0.477 であることがわかれば、他の値も計算できます。

9の10進対数: logd(9) = logd(3^2) = 2 * logd(3) = 2 * 0.477 = 0.954

30 の 10 進対数: logd(30) = logd(3 * 10) = logd(3) + logd(10) = 0.477 + 1 = 1.477

1/3の10進対数: logd(1/3) = logd(1) – logd(3) = -0.477

一方、マヌエル・アモロスは、x を x3 乗すると 3 になるときの x の値を、次のような独創的な方法で求めています。

x^(x^3) = 3

(x^(x^3))^3 = 3^3

(x^3)^(x^3) = 3^3

x^3 = y

y^y = 3^3

y = 3、つまりx = 3の3乗根

また、Bretos Bursó は、自然対数の底である e という数値の興味深い解釈を提案しています。これは、ある程度の数学の知識を持つ人にしか適していませんが、私はそれを含める誘惑に抗うことができませんでした。

ランダムに並んだ人々の列が任意の長さになっているのを見て、2 人の人物がいれば、どちらが背が高いかを常に判別できるとします (その差がどんなに小さくても)。最後に到着した人が最後から 2 番目の人よりも背が高くなるまで、到着した人の数を数えます (この数は常に 2 以上になります)。すると、次のようになります。

– この変数量の期待値または平均値は e という数値です。

– 最後の人が前の人全員よりも背が高い確率は e-2 です。

(上記の 2 つのステートメントはそれぞれ、1/n! の級数の合計に相当します。n = 0、1、2、3… は数 e です)。

異常数の法則

これまで見てきたように、対数表は、掛け算を足し算に、割り算を引き算に変換できるようにすることで、コンピューターが登場する前の時代には計算をかなり容易にしました。しかし、自尊心のあるエンジニアなら誰でもポケットに常備していたすばらしい計算尺とともに、対数表はずっと以前に使われなくなりました。

19 世紀、対数表はあらゆる技術・科学図書館で最もよく参照されるマニュアルの 1 つでした。この継続的な使用により、偉大な天文学者で数学者のサイモン ニューカムは、調査したすべての表の最初のページは次のページよりも使用の跡が多く、ページをめくるにつれて使用レベルが着実に低下していることに気付きました。これは、1 で始まる数字が他のどの数字よりも多く参照され、次に 2 で始まる数字、3 で始まる数字の順になっていることを意味します…

ニューカムは観察から、対数の仮数部（小数部）に関連する数の頻度に関する法則を表明しました。これにより、現実世界から取られた数が 1 で始まる確率は約 30%、2 で始まる確率は 18%、3 で始まる確率は 12% など、常に減少し、9 に達すると、その数が 5% に達しないことを推定できました。

ニューカムの直感に反する結論は、1938 年まで忘れ去られていました。その年、アメリカのエンジニアであるフランク ベンフォードが、20 の異なるサンプル (都市のリストの人口数、株価、物理定数、分子量、死亡率、郵便番号など) から 20,000 を超える数値を調べた結果、彼が「異常数の法則」と呼んだ法則を発表しました。これは今日ではベンフォードの法則として知られています (ベンフォード – ニューカムの法則と呼ぶことを好む人もいますが)。それによると、現実世界から取得した数値のサンプルの最初の数字 n は、logd(n+1) – logd(n) という式で与えられる確率で出現します。(印刷上の制限により、10 進対数は logd と表示されます。)

最初の数字は 9 つの数字 (もちろん 0 は除く) に均等に配分されるべきではないでしょうか? 都市の住民の数は 9 で始まるよりも 1 で始まる可能性が高いのはなぜでしょうか? この一見恣意的な結果について何か説明できるでしょうか?