立方体の二乗に対するあなたの解答、「ル・モンド」第22号の数学の謎

オリンピックの前夜、私たちは立方体を正方形にする未解決問題で数学パズルの最初のシーズンを締めくくっていました。それは、中空の立方体をいくつかの部分に切り分けて、正方形を再構築できるようにするという問題でした。私は特に、この切り分けをできるだけ少ない部分で実現することを提案しました。

しかし、あなたのすべての解決策を読んで、あなたは特に驚くほど多様な方法を思いついたので、最小限のピースの提案だけを公開するのは残念だと思いました。ここでは、立方体を正方形に変えるさまざまな戦略を簡単に紹介します。

まず、私がとても面白がった、ロート・スタニスラスのアイデアから始めましょう。彼の方法は、今年の初めにベサ・ティモネンが発見し、謎の声明で言及されたマイターカットを使用しています。正方形の各面を対角線で2つに切ると、12個の三角形が得られ、これを使ってマイターの形状を簡単に再現できます。次に、ティモネンのカットを重ね合わせるだけで正方形を形成できます。

数学をやるということは、多くの場合、すでに知っている状況に戻る方法を見つけることです。このデモンストレーションは、この格言を完璧に示しています。

求積法を探す場合、対称性もガイドとして役立ちます。正方形と立方体には複数の対称軸 (または対称面) があり、1/4 回転しても変化しません。実用的な理由と見栄えの理由から、切断時にこれらの対称性の一部 (または少なくとも対称性の一部) を維持するように努めるのは妥当です。以下に、Pascal Dubois (A) と Francis Jamet (B) による 2 つの解決策を示します。

このカテゴリには、クリスティアン・マリオンが発見した 8 ピース積分法もあります。この積分法には対称中心があり、1/4 回転してもほとんど変化しません (この不変性を具体化するために、もう少し切り詰めたくなるかもしれません)。

パスカル・デュボアは、その解決策の中で、10世紀に遡る方法の存在について言及している。^e 18 世紀にペルシャの数学者アブ・ル・ワファによって発見されたこの方法は、3 つの同じ小さな正方形を切り取って大きな正方形を形成するというものです。3 つの正方形のうち 1 つを中央に置き、残りの 2 つを斜めに切り取ってその周りに配置します (下の図を参照)。次に、余分な部分を切り取ってくぼみに戻すだけで、大きな正方形が得られます。

立方体の 6 つの面を斜めに切ると 3 つの同一の正方形を形成できるため、アブ・ル・ワファの方法を適用できます。

何人かの参加者が、すべてのピースが長方形であるカットアウト、またはすべてのカットアウトが 2 つの垂直方向のみに沿っているカットアウトを提案しました。これらのソリューションの検証は困難でしたが、残念ながら、すべてがわずかに不正確であることがわかりました。現時点では、すべてのピースが長方形である正確なソリューションを見つけた人はいません。推測するなら、そのような求積法は不可能だと思います。もちろん、私は反論を求めているだけです。

しかし、ダニエル・コリニョンが提案した、立方体のパターンから 1 本の対角線だけを切り取る 6 ピースの優れたソリューションに注目しましょう。

私が受け取った回答の大部分は、まず立方体をテンプレートに展開してから切り取るという戦略を採用していました。適切なテンプレート (いくつかあります) を選択することが、ピースの数を最小限に抑える上で非常に重要になる場合があります。以下は、Daniel Dubuisson (A) と Jean-François Le Garrec (B) による 2 つの異なるテンプレートです。

最も人気のある 5 ピース ソリューションは、8 人の人々によって独立して発見されました。このソリューションは、2×3 の長方形を形成することから始まり、それを斜めにカットしてスライドさせます。

これは私が思いついた最小限の解決策でもあると認めざるを得ません。Laurent Constantin が発見した別の 5 ピースのオプションでは、同じテクニックが逆の順序で使用されています。正方形の幅に合わせて 3 つの小さなピースの配置が変わることに注目してください。

今、私に残された仕事は、最小限の解決策を提示することだけです。 4 ピースのオプションが 2 つ見つかりました。 1 つ目は Jérôme Petitjean によるもの (A)、2 つ目は Jérôme Roche によるもの (B) です。 どちらも同じキューブ パターンから始まります。

これら 2 つのカットには、内側のエッジと外側のエッジが正確に反転する特性があることに注意してください。パターンの内側にあるカット ラインは、正方形のエッジで終わり、その逆も同様です。最初の立方体の 1 辺の長さが 1 であるとすると、立方体の全表面積は 6 に等しくなり、したがって最終的な正方形の 1 辺の長さは √6 になります。これら 2 つのカットには、正確に √6 の大きなカット ラインと、合計が √6 である 2 つの小さなカット ラインがあります。

このタイプのソリューションを実現する 1 つの方法は、立方体テンプレートを使用して平面をタイル張りし、その上に √6 辺の傾斜した正方形のタイルを重ねることです。

パターンに対する正方形のタイルの傾斜は、正方形の垂直の高さと水平の幅が 2 に等しくなるようにする必要があります。このようにして、パターンと立方体はタイル上のすべてのポイントで同じように重ね合わされたままになります。

現在までに、4 つ未満の部分に分割された例は発見されていません…しかし、それが不可能であるという証拠は確立されていません。

これが、この記事を書いている時点での立方体の平方化の問題です。メールアドレス [email protected] 新しい成果を達成した人なら誰でも参加できますので、今後の進捗状況については必ずお知らせします。