バッハの音楽に隠された数学的パターンが明らかに

バロックドイツの作曲家ヨハン・セバスティアン・バッハは、よく数学と比較されるほど綿密に構成された音楽を生み出しました。 数学に感情的に影響される人はほとんどいませんが、バッハの作品、そして音楽全般は私たちの心を動かします。 それは単なる音ではありません。 それはメッセージです。 そして今、情報理論のツールのおかげで、研究者たちはバッハの音楽がどのようにそのメッセージを伝えるのかを理解し始めています。

科学者たちは、スコアをノードと呼ばれる点の単純なネットワークとして表現し、エッジと呼ばれる線で接続して、バッハの何百もの楽曲によって伝えられる情報を定量化しました。 これらの音楽ネットワークの分析は、2 月 2 日に出版されました。 フィジカルレビュー研究 コラールやトッカータなど、バッハの多くの音楽スタイルは、伝達する情報量が著しく異なっており、音楽のネットワークには人間のリスナーにとってメッセージを理解しやすくする構造が含まれていることを明らかにしました。

「このアイデアは本当に素晴らしいと思いました」と、新しい研究の筆頭著者であるペンシルバニア大学の物理学者スーマン・クルカルニは言う。 「私たちは音楽作品について仮定を置かずに物理学のツールを使用しました。ただこの単純な表現から始めて、伝えられている情報について何が分かるかを確認しました。」

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研究者たちは、1948 年に数学者のクロード シャノンによって導入された概念である情報エントロピーを使用して、単純なシーケンスから複雑なネットワークに至るまであらゆるものの情報内容を定量化しました。

その名前が示すように、情報エントロピーは数学的および概念的に熱力学的エントロピーに関連しています。 これは、メッセージがどれほど驚くべきかを示す尺度として考えることができます。「メッセージ」とは、一連の数字から音楽まで、情報を伝えるものであれば何でも構いません。 口語的に情報は確実性と同一視されることが多いため、この見方は直観に反すると感じるかもしれません。 しかし、情報エントロピーに関する重要な洞察は、すでに知っていることを学ぶことはまったく学習していないということです。

テレビシリーズのキャラクター、ホーダーなど、たった 1 つのことしか言えない人物との会話 ゲーム・オブ・スローンズ、 「ホーダー」とだけ言う人は、予測可能ではありますが、情報はありません。 ピカチュウとチャットした方がもう少し良いでしょう。 ポケモンは名前の音節しか言えませんが、ホードルとは異なり、音節を並べ替えることができます。 同様に、音符が 1 つだけの楽曲は、脳が「学習」したり、メンタル モデルとして正確に再現したりするのは比較的簡単ですが、その楽曲がいかなる種類のメッセージも伝えるのは困難です。 双頭コインでコイン投げを観察しても、まったく情報が得られません。

もちろん、メッセージを情報でいっぱいに詰め込んでも、メッセージを受信する人がその情報を正確に理解できない場合はあまり良くありません。 そして、音楽のメッセージに関しては、音楽が私たちに何を伝えようとしているのかを、私たちがどのようにして学ぶのか、研究者たちはまだ研究中です。

「いくつかの異なる理論があります」と、最近の事件には関与していないロンドンのクイーン・メアリー大学の認知科学者マーカス・ピアースは言う。 フィジカルレビュー研究 勉強。 「現時点では、主なものは確率学習に基づいていると思います。」

この枠組みでは、音楽を「学ぶ」ということは、期待と驚きの相互作用を通じて、私たちが聞いている実際の音（研究者がモデルと呼ぶもの）の正確な精神的表現を構築することを意味します。 私たちのメンタル モデルは、前に発生した音に基づいて、特定の音が次に発生する可能性を予測します。 次に、ピアース氏は、「予測が正しかったか間違っていたかがわかり、それに応じてモデルを更新できます」と述べています。

クルカルニとその同僚は物理学者であり、音楽家ではありません。 彼らは、情報理論のツールを使用して、人間がメロディーから意味を収集する方法に関係がある可能性のある情報構造を音楽から探したいと考えていました。

そこでクルカルニは、337 のバッハの楽曲を相互接続されたノードの網に要約し、結果として得られるネットワークの情報エントロピーを計算しました。 これらのネットワークでは、元のスコアの各ノートがノードであり、ノート間の各トランジションがエッジです。 たとえば、曲に E の音符が含まれ、その後に C と G が一緒に演奏される場合、E を表すノードは C と G を表すノードに接続されます。

バッハの音楽の音符遷移のネットワークには、同じサイズでランダムに生成されたネットワークよりも多くの情報パンチが詰め込まれています。これは、ネットワークのノード次数、つまり各ノードに接続されているエッジの数が大きく変化した結果です。 さらに、科学者たちは、バッハの多くの作曲スタイルの情報構造と内容にバリエーションがあることを発見しました。 歌うことを目的とした賛美歌の一種であるコラールは、情報が比較的まばらなネットワークを生成しましたが、同じサイズでランダムに生成されたネットワークよりもさらに情報が豊富でした。 トッカータと前奏曲、つまりオルガン、チェンバロ、ピアノなどの鍵盤楽器のために書かれることが多い音楽スタイルは、より高い情報エントロピーを持っていました。

「特に、コラール作品よりもトッカータのほうが驚きのレベルが高くて興奮しました」と研究共著者でペンシルベニア大学の物理学者ダニ・バセット氏は言う。 「これら 2 種類の作品は私の骨の髄まで異なっているように感じられ、その違いが構成情報に現れることに興味がありました。」

バッハの楽曲のネットワーク構造により、人間のリスナーがそれらのネットワークを正確に学習することが容易になる可能性もあります。 人間はネットワークを完璧に学習できるわけではありません。 私たちには偏見がある、とバセット氏は言います。 「私たちは、システム全体にわたるより大きな情報を見ることを優先して、ローカルな情報の一部を無視しています」と彼らは付け加えました。 研究者らは、複雑なネットワークのメンタル モデルを構築する際のこの偏りをモデル化することで、各音楽ネットワークの総情報量と、人間のリスナーがそこから収集する情報量を比較しました。

音楽ネットワークには、多くの情報を犠牲にすることなく、私たちの偏った脳が音楽を「学習」し、メンタルモデルとして音楽の情報構造を正確に再現するのに役立つ可能性のある音符遷移のクラスターが含まれていました。

「学習可能性を捉える特定の方法は非常に興味深いです」と、この研究には関与していないケンブリッジ大学のピーター・ハリソンは言う。 「それはある意味で非常に還元的です。 しかし、それは私たちが世の中に持っている他の理論を非常に補完するものであり、学習可能性を理解するのはかなり難しいことです。」

このタイプのネットワーク分析はバッハに特有のものではなく、どの作曲家にも機能する可能性があります。 ピアース氏は、さまざまな作曲家を比較したり、音楽史を通じて情報の傾向を探すためにこのアプローチを使用するのは興味深いだろうと述べています。 クルカルニは、西洋音楽の伝統を超えた楽譜の情報特性を分析することに興奮しています。

しかし、音楽は単に音符の連続ではない、とハリソン氏は言います。 リズム、音量、楽器の音色など、これらの要素は音楽メッセージの重要な側面ですが、この研究では考慮されていませんでした。 クルカルニさんは、音楽のこうした側面を自分のネットワークに組み込むことに興味があると語る。 このプロセスは別の方法でも機能する可能性があると Harrison 氏は付け加えています。音楽の特徴をネットワークに要約するのではなく、ネットワークの特徴がミュージシャンが認識できるものにどのように変換されるかに興味があります。

「ミュージシャンはこう言うだろう、『これを動かしている実際の音楽ルールや音楽的特徴は何だ？』 これをピアノで聴いてもいいですか？」とハリソンは言います。

最後に、新しい研究で特定されたネットワーク パターンが、バッハの曲やその他の音楽を聴くという生きた体験にどのように正確に反映されるのかはまだ明らかではないとピアース氏は言う。 それを解決するのは音楽心理学の問題だ、と彼は続ける。 実験によって、「実際にそのようなことが人々に知覚できるかどうか、また、人々が音楽を聴いているときの喜びにそれらの影響がどのような影響を与えるのか」が明らかになる可能性がある。 同様に、ハリソン氏は、この研究で研究者らがモデル化したネットワーク学習の間違いの種類が、人々の音楽の学習方法にとって実際に重要であるかどうかをテストする実験に興味があると述べた。

「人間が複雑な情報システムに対してこのような不完全で偏った認識を持っているという事実は、私たちがどのように音楽に関わっているかを理解する上で非常に重要です」とバセット氏は言う。 「バッハの作品の情報の複雑さを理解すると、私たち一人ひとりがさまざまな種類の音楽をどのように鑑賞するかの基礎となる認知プロセスに関する新たな疑問が生まれます。」