量子の世界に生じる物質のトポロジー的形態 |コーヒーと定理 |科学

物質の相について考えるとき、私たちはほとんどの場合、固体、液体、気体という古典的な例に目を向けます。それらにおいて、温度は物質をある状態から別の状態に変化させる導電性の糸として機能し、氷が溶けたり水が蒸発したりする転移点を示します。しかし、絶対零度付近（量子力学がゲームのルールを決定し、その影響が大規模でも目に見える場所）では、物質はより広範囲で驚くべき範囲の位相を明らかにします。

その中でもひときわ目立つのが トポロジカルな位相材料の特性は、その組成や局所構造に依存するのではなく、その材料の性質に依存します。 トポロジー軽度の変形（例えば、切断や接着ではなく、伸長や押しつぶし）下でも変化しないシステムの全体的な特性。これにより安定性の特性が得られ、本質的にエラー耐性のある量子メモリとして使用するのに非常に役立ちます。さらに、それらはボーソンやフェルミ粒子の法則に従わない準粒子の存在をもたらします。これらすべてについて、 物質のこれらの位相位相を研究し分類する問題 は数理物理学の中心的な問題となっている。

量子相の挙動は、大部分が量子系の対称性、つまり、適用された場合に系の基本的な特性を変化させない、回転、反転、時間的順序の変更などの変換によって決定されるようです。ある論文によると、これは現代物理学の多くに当てはまります。 数学の定理 の不可欠な エミー・ネーターこれは、系の対称性と保存則を結びつけます。たとえば、外部磁場が導入されたときに最初は乱れていた電子スピンが整列すると、相転移が発生し、系は強磁性になります。電子スピンのこの新しい秩序は、系の対称性の破れとして解釈できます。これは、2 つの異なる相間の変化を示す「秩序パラメータ」である磁化を通じて検出できます。

ただし、トポロジカルな位相とその遷移については説明を省略しています。つまり、それらは従来の対称性の破れによっては説明されません。対称性は別のレベルに隠されており、それを発見するには、物質の量子状態の表現方法を変更する必要があります。この新しい視点を提供してくれるのは、 テンショナーネットワークシステム内の粒子間の量子相関を記述する数学的ツール。

ロス テンショナー これらは、ベクトルと行列という、よりよく知られた概念を一般化したものです。ベクトルは単純に順序付けされた数値のリストですが、行列は行と列に編成された順序付けされたテーブルです。つまり、ベクトルは 1 方向のみに伸びます (1 次元です) が、行列は 2 つの方向を持ちます (2 次元です)。テンソルはこの考えを一般化したものです: ランク テンソル k 付きのテーブルです k 寸法。テンソル ネットワークでは、システム内の各粒子にテンソルが割り当てられ、全体の量子状態が取得されます。 契約中 これらのテンソル (乗算行列に似たもの) は、粒子間の相互作用を反映するパターンまたはネットワークに従います。

Matthew Hastings が示したように、テンソル ネットワークは低温量子状態の効率的な記述を提供します。 先駆的な作品20年前。したがって、トポロジカル位相のプロパティは、状態を記述するテンソルにエンコードされなければなりません。そして、正確には、これらのテンソルの対称性こそが、 そこにオリジナル トポロジカル相へ。つまり、量子状態をテンソルのネットワークとして記述するテンソルの対称性に応じて、トポロジカル位相を区別 (したがって分類) することが可能です。

テンソル ネットワークの対称性を記述するために必要な数学的構造は、「グループ」の数学的構造に関連する、数学における最も古典的な対称性を超えています。 いわゆる弱いホップ代数が作用するこれらの系の新たな準粒子の特性を捉えるグループの一般化。

この観点により、粒子が平面内、つまり 2 次元に配置された系における既知のトポロジカル位相をすべて数学的に描写することが可能になりました。特に、最低エネルギー状態が RVB 状態である粒子間の相互作用を取得できるようになりました (共鳴する原子価結合状態）。この状態は、ノーベル物理学賞のフィリップ・ウォーレン・アンダーソンによって、トポロジカル相の一例として提案され、 トポロジカル液体をスピンし、 高温超伝導を説明できるかもしれない。ただし、パリティ対称性を持つテンソルのネットワークとして表現することによってのみ可能です。 それを実行可能にする具体的なインタラクションを取得する。オックスフォード大学のシヴァージ・ソンディ教授が述べたように、それまでRVBは「相互作用を求める量子国家」だった。

三次元のトポロジカル相を特徴づける類似構造の構築と理解は、引き続き物理的および数学的に大きな興味深い未解決の問題です。それを解明するために、テンソル ネットワークは、最もエキゾチックな量子物質を記述するための自然な数学言語を提供し続けています。

デビッド・ペレス＝ガルシア 彼はの教授です マドリッド・コンプルテンセ大学のメンバー 数理科学研究所 (ICMAT) およびその学者 王立精密物理自然科学アカデミー スペインから

編集・コーディネート： ティモン・アゲート (ICMAT-CSIC)

コーヒーと定理 これは、数学とそれが作成される環境に特化したセクションであり、数理科学研究所 (ICMAT) によって調整されています。このセクションでは、研究者とセンターのメンバーがこの分野の最新の進歩について説明し、数学と他の社会的および文化的表現との接点を共有し、数学の発展に重要な役割を果たし、コーヒーを定理に変換する方法を知っていた人々を偲んでいます。この名前は、ハンガリーの数学者アルフレッド・レーニの定義を思い出させます。「数学者とは、コーヒーを定理に変換する機械である」。