解決しましたか？数字はすべて 11 になります。数学

今日の初めに、数字の 11 に関する 3 つの問題を提示しました。ここで、それらに解決策を再度示します。

1. 面白いフォーメーション

あなたはサッカー チームのコーチで、選手の背番号は 1 から 11 です。ゴールキーパーは 1 を着ます。他のメンバーをディフェンダー、ミッドフィールダー、フォワードに分ける必要があります。

各グループ (ディフェンダー、ミッドフィールダー、フォワード) の背番号の合計が 11 で割り切れるようにチームを編成したいと考えていますか?

例を挙げるか、それが不可能であることを証明してください。

解決 いいえ、それは不可能です。

1 から 11 までの数字の合計は 66 です。したがって、外野選手の背番号の合計は 66-1 = 65 となります。

ディフェンダー、ミッドフィールダー、フォワードの背番号の合計がすべて 11 で割り切れる場合、これら 3 つのグループすべての背番号の合計も 11 で割り切れます。しかし、11 は 65 を割らないので、これは誤りであることがわかります。

2. 友達かどうか

初めて九九を学ぶとき、11 九九はとても単純に感じられます。

11 × 1 = 11
11 × 2 = 22
11 × 3 = 33
…
11 × 9 = 99

答えはすべて回文（後ろから読んでも前から読んでも同じ数字）です。

11 x 99 まで続けると、回文になる答えはあと何個ありますか?

[Hint. At least one! For example, 11 × 56 = 616.]

解決 あと9つ

11 を掛けることがどのように機能するかを考えてみましょう。 2桁の数字に桁がある場合 ある そして b、11 の積は、桁上げが必要ない場合、最初の桁、次にそれらの合計、次に 2 番目の桁を書き留めることによって形成されます。

つまり、11 × 52 = 572、

中央の桁は単純に 5+2=7 であるためです。

i) 一致する数字 (4 つの解)

11、22、33、44 のように 2 つの数字が同じ場合、11 を掛けると 121、242、363、484 が生成され、すべて回文になります。

これは、中央の桁が 10 未満にとどまっている場合にのみ機能するため、これら 4 つのケースに限定されます。

ii) 「階段」の数 (4 つの解決策)

次に、2 番目の桁が最初の桁より 1 大きい数字を見てください。これらの場合、積の外側の数字が一致し、再び回文が得られます。

11 × 56 = 616

11 × 67 = 737

11 × 78 = 858

11 × 89 = 979

iii) 最後のケース (1 つの解決策)

もう少し上に行くと、積は 4 桁になります。最初の数字は 1 なので、回文の唯一の希望は最後の数字が 1 のときだけです。それで 91 をテストしましょう。驚くべきことに、それはうまくいきます。 11×91=1001。

3. 大きな格差

他の割り算ルールほど知られていませんが、11 で割り切れるかどうかをテストする簡単な方法があります。

数値の桁を取得し、プラス記号とマイナス記号を交互に追加します (プラスから始まります)。結果が 11 の倍数 (0 を含む) の場合、元の数値は 11 で割り切れます。

たとえば、132 の場合、+1-3+2 = 0 となるため、132 は 11 で割り切れます。

0 ～ 9 の各数字を 1 回ずつ使用して、11 で割り切れる最大の 10 桁の数字を作成します。

解決 9876524130

0 ～ 9 の数字を 1 回ずつ使用した最大の 10 桁の数字は、9876543210 です。

11 の割り算テストを使用して、奇数位置の数字の合計と偶数位置の合計を比較します。この番号については、

• 奇数の位置: 9、7、5、3、1 の合計は 25 になります。

• 偶数の位置: 8、6、4、2、0 の合計は 20 になります。

その差は11の倍数ではなく5です。

0 ～ 9 の数字の合計は 45 であるため、2 つの合計は常に 45 になる必要があり、その差が 0 になることはありません。したがって、目標とする最も近い 11 の倍数は 11 です。

数値をできるだけ大きく保つために、降順のプレフィックスを保持するようにしてください。数字が始まったとします

987654 ⋯

これまでに修正された桁の差は、
(9+7+5)−(8+6+4)=3。
したがって、残りの桁 3,2,1,0 は 8 を寄与する必要があります。しかし、可能な限り最善の方法で配置したとしても、(3+1)－(2+0)=2 しか寄与できません。
したがって、987654… で始まる数字は機能しません。

次に、プレフィックスを保持してみてください

98765 ⋯

これらの数字は、(9+7+5)-(8+6)=7 の差に寄与します。
したがって、残りの数字 4、3、2、1、0 は正確に 4 に寄与する必要があります。

差をできるだけ大きくするには、残りの最大桁の 4 と 3 を奇数の位置に置き、2、1、0 を偶数の位置に置きます。これにより、
(4+3)−(2+1+0)=4、まさに必要なものです。

数値をできるだけ大きく保つように調整すると、9876524130 になります。

簡単に確認すると、奇数位の合計は 28、偶数位の合計は 17、28-17=11 であるため、この数値は 11 で割り切れることがわかります。

楽しんでいただければ幸いです。 2週間後に戻ってきます。

これらのパズルを提供してくれた大学の数学学校に感謝します。英国にはこれらの学校が 11 校あり、それぞれが大学に付属しており、数学が好きな 16 ～ 19 歳を対象とした州立第 6 形式です。彼らの Web サイトの詳細については、umaths.ac.uk をご覧ください。

2015 年から隔月月曜日にここでパズルを出題しています。常に素晴らしいパズルを探しています。何か提案したい場合は、私にメールしてください。