聖なる多角形と呪われた星 | 科学のゲーム

先週見たように、互いに接する半径 1、2、3 の円の中心が直角三角形の頂点になります。 そして、ただの三角形ではなく、辺 3、4、5 を持つ三角形、他ならぬエジプト人の神聖な三角形でした。エジプト人は、この三角形の最長辺の反対側の角度が正しいことを知っていましたが、一般化したかどうかは定かではありませんが、この結果は、辺が a² = b² + c² という関係を満たすすべての三角形になります (つまり、 ピタゴラスの定理）。

Salva Fuster 氏は次のように指摘しています。「半径 1、2、3 で互いに接する円の場合、その中心が辺 3、4、5 の直角三角形を形成するように描かれると、その半径がこれら 3 つの外接円は 6 になり、その中心は他の 3 つの中心と長方形を形成する点に正確に見つかります。」 （なぜなら？）。

幾何学的な方法で内接円の半径を求めるのはそれほど簡単ではありません。 次の公式に頼ることができます。

Q² + R² + S² + T² = 1/2 (Q + R+ S + T)²

ただし、これまで見てきたように、計算は長くて面倒なので、T を直接求める別の式を使用すると便利です。

T = Q + R + S + 2√(QR + QS + RS)

T = 1 + 1/2 + 1/3 + 2√(1/2 + 1/3 + 1/6) = 11/6 + 2 = 23/6

したがって、内接円の半径は 1/T = 6/23 となります。

ルートの負の値を適用すると、次のようになります。

T = 11/6 – 2 = –1/6

これは外側の接円の半径に対応し、これまで見てきたように、その曲率を負にすると 6 単位になります (内側の接円の場合、4 つの円は凸部で「接し」ますが、外側の接円は接します)。残りの 3 つは凹んだ部分を持ちます)。

神聖な三角形から悪魔のような五芒星まで

エジプト人の黄金の三角地帯 神聖で、黄金で、神秘的で、あるいは呪われた多角形はこれだけではありません。 三角形の範囲を離れることなく、正三角形は神ご自身（聖三位一体）を表すため、神聖な三角形として最も優れています。また、キリスト教だけでなく、ヒンズー教にとっても、ブラフマー、ヴィシュヌの神の三尊柱の象徴でもあります。そしてシヴァ神。

四角形の中でも、黄金の長方形は際立っており、その辺は 1:1.618 という神聖な比率にあります (理由を覚えていますか、それとも推測できますか?)。 おなじみの DIN A4 フォリオは 210 x 297 mm で、金色ではありませんが、非常に特別なものにする興味深い幾何学的特性を持っています (どれですか?)。 もう 1 つの遍在する長方形は、辺の比率が 1:2 のドミノまたは畳です。これはレンガやタイルでよく見られます。これは、壁やタイルの床を構築するために 2 つの小さな辺と大きな 1 辺を結合できるという利点があるからです。

正五角形の場合、神聖な図形を決定するのはその対角線です。つまり、五芒星、五芒星、またはピタゴラス派が崇拝する五芒星であるペンアルファです。 幾何学的な繊細さの中でも特に、前述の神聖な比率は五角形の星に巣を作ります。 （見つけられますか？）

ペンタクルの内側の五角形の対角線を引くと、別の五角形が反転します。これは空間的なだけではない反転です。なぜなら、逆さまの五角形は悪魔の象徴であり、決定しなければその呪いがあなたに届くからです。五角形の面積とその内部の対五角形の面積との比率。 または、正しく描かれていない場合は、定規（目盛りなし）とコンパスを使って正五角形を描くことから始めなければなりません。

正六角形の場合は、六角形の辺が外接円の半径と等しいので作図が非常に簡単で、正三角形や正方形の作図も同様に簡単です。 ただし、五角形の場合はもう少し費用がかかります。 成功したら、とらえどころのない 7 角形 (17 角形) に到達するまで、他の正多角形 (八角形、九角形、十角形など) を試してください。 元気を出して、ガウスはわずか 19 歳でそれを手に入れました。

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