紙を折る技術 | 紙を折る技術科学のゲーム

黄金の長方形とおなじみの DIN A4 用紙、 先週言及した、容易に自己複製するという特性を共有します。 黄金の長方形から、辺が小さい方の辺と等しい正方形を削除すると、残った長方形は最初の長方形と似ています (したがって、やはり黄金色です)。

最初の長方形の短辺を単位として、その長辺を x とすると、両方の長方形が相似になるためには、それらの辺が比例する必要があるため、次のようになります。

x:1 = 1:(x-1)

x2 – x – 1 = 0

x = 1.618… = Φ (黄金数)

DIN A4 の用紙の場合、自己複製はさらに簡単です。用紙を半分に折りたたむと、シート全体と同様の DIN A5 シートが 2 枚得られます。 再びシートの短い辺を単位として、長い辺を x とすると、次のようになります。

x:1 = 1:(x/2)

x²/2 = 1

x = √2 = 1,414…

DIN A4 という名前の由来は、 ドイツ標準化研究所: DIN は Deutsches Institut für Normung の頭字語で、4 は 841×1189 mm の元のシート A0 を、古いフォリオにほぼ対応するよく知られた 210×297 mm のフォーマットにするために折りたたむ必要がある回数を示します。 A5 は古いページに近づき、A6 はリーフレットに近づきます。

添付の図で、A3、A4、およびそれ以降の配置を適切に変更すると、よく知られているゴールデン スパイラルに似た尖った疑似スパイラルのフレームワーク、つまり DIN 疑似スパイラルが得られます。 彼女について何が言えますか?

そして、折り方に関して言えば、1枚の紙を何回折ったり、二重にしたりできると思いますか? 試してみると、連続して 7 回以上折りたたむことができないことがわかります。 通常の紙の厚さは約 10 分の 1 ミリメートルなので、7 回折ると、厚さ約 13 mm の小さく実用的ではないビレットが手に入ることになります。 しかし、折り畳んだり折り直したりを無限に繰り返すことができた場合、得られたビレットが月に届くまでに、何回紙を折る必要があるでしょうか? 操作が可能となるためには、シートのサイズはどれくらいでなければなりませんか (紙が曲げに抵抗がないという理想的な場合)。

五芒星については、その面積とその内側の逆五角形の面積の比率がまだ見つかっていない場合は、2 番目のチャンスがあります。五芒星には 10 個の二等辺三角形と 5 つの鋭角 (頂点の頂点) があることを覚えておいてください。星）と 5 つの鈍角があり、それらすべての最大辺と最小辺の比は黄金比（1.618…）です。 そして正五角形は対角線と辺も黄金比になります。 それでは、五角形の面積とその内側の対五角形の面積の比はどうなるでしょうか? 警告: フレドリック ブラウンの有名な短編小説では、魔女志望者が五角形の幾何学を十分に知らなかったために悪魔の罠にはまってしまいます。

DIN折りからマップ折りへ

紙を折る技術に戻ると、物理的に何回折り畳むことができるかということと同じくらい興味深い問題は、どれだけさまざまな折り方をできるかということです。 白紙のシートを通常の方法 (つまり、短い方の端を接合する) で半分に折る場合、この質問は無関係です。 しかし、両面に画像やテキストが印刷されたシートの場合は、どちらの面を省略するかに応じて 2 つの方法で折りたたむことができ、もう一度折りたたむと、再び 2 つの可能性が得られます。 つまり、2ⁿ の可能性があり、n は 2 倍化の数です (DIN 形式の場合、常に最初のものと同様の長方形が得られます)。

しかし、現実の世界で紙が何度も折りたたまれているのを発見した場合、通常は DIN タイプのメディエーターを連続して折りたたむことはありません。これは、たとえば地図を表示する場合には実用的ではないためです。 そして、事態はかなり複雑になります。

「細長い」折り方、つまり最も長い辺を結合する折り方も有効な場合、1 枚の紙を続けて 2 回折りたたむことができる方法は何通りありますか? それも３回、４回…？

そして、実際に地図上で見られるような、半分ではない折り方も考えてみると、数学者自身が「イライラする」と表現する、複雑で捉えどころのない組み合わせ論の分野、つまり地図の折り方に参入することになります。 しかし、それは別の記事です。

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