古典的な幾何学構成における誤差の伝播

古典幾何学の構築における誤差と誤差伝播の問題について議論したいと思います。 これらの構造でエラーはどのように伝播するのでしょうか? 見慣れた古典的な構造は、直定規やコンパスの使用時の小さな誤差にどの程度敏感ですか?

線分 $AB$ の垂直二等分線のアポロニウスの古典的な構成を考慮して、私が考えていることを説明してみましょう。 1 つは、それぞれ $A$ と $B$ を中心とする 2 つの円を形成し、それぞれの半径は $AB$ です。 これらの円弧はそれぞれ点 $P$ と $Q$ で交差し、垂直二等分線を形成し、中点 $C$ で元の線分と交わります。

これはすべて問題なく、希望どおり、実際に $PQ$ が $AB$ に垂直であり、$C$ が $AB$ の中点であることを簡単に証明できます。

しかしながら、このような構築を実際に実行すると、必然的にいくつかの小さな誤差が生じる。 実装される予定はありません その通り、無限の精度で、しかしむしろ、コンパスまたは直定規の配置にいくつかの小さな誤差が予想され、おそらくこれらの誤差が蓄積し、構造全体に伝播する可能性があります。 私が議論したいのは、この構造と他の古典的な構造がこれらの小さな誤差に対して敏感であるということです。

たとえば、ポイント $A$ と $B$ が与えられたとします。 $A$ を中心とし、半径 $AB$ の円を作成しようとするとき、コンパスの点を $A$ に置きます。この配置には小さな誤差があり、$A$ から逸脱し、青い円のどこかに着地する可能性があります。 。 同様に、コンパスの筆記 (またはエッチング) 器具の端は $B$ に配置されますが、おそらく異なるエラーが発生し、オレンジ色の円が $B$ に着地します。 実際に結果として生じる円弧は、次のようないくつかの小さな誤差を伴って生じる円弧になります。

これらの誤差範囲に従って発生する可能性のあるすべての円弧の空間を、下のぼやけたオレンジ色の円弧として表すことができます。 この画像は、誤差円内の中心と半径をさまざまに選択して、そのような円弧をオレンジ色で何十個も描き、結果をブレンドするだけで作成されました。

$B$ を中心とし、$A$ を通過する他の円弧についても、同様のエラーを伴う同じ構築を実行します。 これらの円弧は上下の濃いオレンジ色の領域で重なり、点 $P$ と $Q$ を決定します。

実際に描く円弧と対応する垂直線は、おそらく次のように、これらのぼやけた領域内のどこかに配置されます。

この特定のケースでは、結果の線 $PQ$ が $AB$ に対して明らかに非垂直であり、結果の点 $C$ が明らかに中点ではないことに注意してください。 $A$ と $B$ の誤差に従って生じる可能性のあるすべての二等分線 $PQ$ の空間を考慮して、結果を垂直の赤い影付き領域として示します。 濃い赤色の領域は、誤差推定に従って「中間点」 $C$ として構築された可能性のある点 $C$ の空間です。

点 $A$ と $B$ の元の誤差範囲のサイズを考えると、このような標準的な単純な構築 (セグメントの垂直二等分線と中点を構築する) でさえ、比較的大きな誤差伝播があるように見えることは驚くべきかもしれません。なぜなら、影付きの赤い領域 $C$ は非常に大きく、中間点に近いとは言えない多くの点が含まれているからです。 この意味で、アポロニウスの垂直二等分線の構築はコンパスの配置の誤差に敏感であると思われます。

もっと良い施工はないでしょうか？ たとえば、少なくとも $PQ$ から $AB$ までの垂直度の精度を向上させるという点では、はるかに大きな円を使用すると、得られる「直角」角度のばらつきが小さくなるでしょう。 しかしこれは、これまで、コンパス誤差は実際に円弧を描く過程ではなく、コンパスの点の配置によってのみ発生すると仮定してきたことが部分的に原因です。 しかし、もちろん、使用中にコンパスが曲がって真円度がずれたり、ずれたりすることで誤差が生じることは想像できますが、これは円弧の長さや角度が増すにつれて誤差が増大することが合理的に予想されるかもしれません。このような誤差モデルでは、円が大きいほど誤差が大きくなる可能性があります。

原理的には、あらゆる幾何学的構造に対して同様の解析を実行し、対応する結果を使用して、同じオブジェクトを構築するためのさまざまな方法の感度を比較したり、さまざまな誤差源をモデル化したりすることができます。 目標は、すべての標準構造を正確に分析し、競合する構造の精度を比較することかもしれません。

まさにこれを行っている論文の文献があり、後でいくつかの参考文献を投稿しようと思います (または、良い参考文献がある場合はコメントに投稿してください)。

誤差推定の別のアプローチは、点 $A$ と $B$ での誤差を、$A$ と $B$ を中心とし、一定の変動を伴う確率分布として考えることです。 そして、点 $P$ と $Q$ に対応する分布が得られます。これらは私の図のような厳密な形状ではありませんが、定性的に同様の分布がその領域に広がっており、結果として点 $C$ の確率分布が得られます。

最後に、単純にそれを繰り返して結果を平均することによって、または他の収束アルゴリズムによって、構築の精度を向上させることを望むかもしれないことについて言及しておきます。 たとえば、最初のステップとして、単純にアポロニウスの二等分線構築を 2 回実行して、中点候補 $C_0$ と $C_1$ を生成し、さらにおそらくより正確な中点として $C_0C_1$ の中点を見つけるだけで続行できます。 あるいは、他の方法で反復処理を行い、実際の中間点に収束することを期待することもできます。 たとえば、7 つの中間点の候補を生成し、その結果の中央点を取得することができます。