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2024-12-03 16:00:00
私たちの多くにとって非常に悩ましい高校数学の多くが、数千年前にすでに十分に理解されていたことを知ると、謙虚な気持ちになります。エジプト人はどこにも近づきませんでした E=mc2しかし、彼らはピラミッドの体積を求める方法を知っていました。ギリシャ人は微積分を思いつきませんでしたが、円の面積を決定し、それを証明しました。歴史的な文脈で見ると、これらの計算はアインシュタインやニュートンの計算と比べても遜色ありません。
デジタル コンピューターと内燃エンジンを備えた現代世界は、数字愛好家の探究の上に築かれています。私たちにとって幸運なことに、彼らは長い間それに取り組んできました。
「天文学を除けば、数学は精密科学の中で最も古く、最も継続的に追求されている」とニューハンプシャー大学教授の故デービッド・バートンは次のように書いている。 数学の歴史。
ここでは、この主題に関する初期の著作から抜粋した、古代の偉大な数学的成果のいくつかを紹介します。
1. 切頭ピラミッドの体積
今日、数学の驚異的な製品は、あらゆる超高層ビルや吊り橋など、私たちの周りにあります。それでも、ギザのピラミッドほどの驚異を呼び起こすものはほとんどありません。約 4,600 年前に建造され、古代世界の他のものでは得られなかった計算の力を明らかにします。
偶然にも、ピラミッド全体の体積を求めるのは簡単です。底面の面積の 3 分の 1 を取り、それに高さを掛けるだけです。これは、底面積と高さが同じであるピラミッドと角柱のミニチュア モデルを使用すると簡単に理解できます。ピラミッドを水で満たし、プリズムに注ぐと、プリズムはちょうど 3 倍の量を保持できることがわかります。角柱の体積は単純に底辺と高さの積であるため、これを使用してピラミッドの体積を推測できます。
の式は、 のボリューム 切り詰められた ピラミッド （上部が切り取られたもの、錐台とも呼ばれます）は、一桁洗練されています。ちょっと見てください:
切頭ピラミッド式
もちろん、エジプト人はそのように書いたわけではありませんが、モスクワ・パピルス（紀元前約 1850 年の数学の問題を集めたもの）は、エジプト人が根底にある原理を理解していたことを示しています。
これは時代をはるかに先取りしており、バートンはそれを「古代幾何学の傑作」と呼びました。実用的な観点から見ると、建設の途中で、仕事を完了するために必要な資材の量を計算できるようになりました。
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2. ピタゴラスの定理
幾何学で何かを覚えているなら、おそらくこれでしょう。直角三角形では、斜辺の 2 乗 (最長の辺) は、他の 2 辺の 2 乗の和に等しいです。
これは、文字通り各辺から突き出た正方形を描くことで確認できます。次のように表現することもできます エレガントなフォーミュラおそらく、これはあなたの記憶の中で「ミトコンドリアは細胞の動力源である」とほぼ同じ位置を占めているでしょう。
この方程式は紀元前 6 世紀に生きたギリシャの数学者ピタゴラスにちなんで名付けられましたが、それははるかに古いものです。
「数学では、すべての道はギリシャに通ずるとよく言われます」とバートンは書いている。ギリシャ人自身もそれがエジプトから伝わったと信じており、現代考古学もその主張をほぼ支持している。しかし、この幾何学的な宝石について最初に理解したのはバビロニア人です。
として知られる紀元前約 1800 年の粘土板 プリンプトン 322には、ピタゴラスのトリプル (定理を満たす 3 つの整数のグループ) のリストが含まれています。例えば：
多くの学者は、このリストを純粋な理論数学の演習、さらには学生を教えるために使用される問題集であると考えています。
しかし2021年、ニューサウスウェールズ大学の数学者ダニエル・マンスフィールド氏は次のように主張した。 より世俗的な目的：この「長方形の研究」は、「地面を測定するメソポタミアの測量士が直面した問題に由来しているようです」と彼は書いています。
プリンプトン 322 と同じ時代の詩の中で、そのような測量士の一人は、「不当な扱いを受けた人々が口論しているとき、私は彼らの心をなだめます」と報告しています。
3. 二次公式
の 二次公式も代数の定番であり、高校生が最初に遭遇する本当に恐ろしい数学構造の 1 つです。深く掘り下げてみると、先生が脳に刻み込んだ歌の曲を呼び出すこともできるかもしれません。 （ヒント：「ポップはイタチを行く」）
再トラウマ化について謝罪します。怪我をさらに侮辱するために、ウタ・メルツバッハとカール・ボイヤーはこう書いた。 数学の歴史 この地獄のような変数の列は「バビロニア人に重大な困難を与えなかった」ということです。
おそらく、彼らがそれをそれほど抽象的な意味で考えていなかったことが助けになったのでしょう。実際、不定の用語 (「a」、「b」、「c」など) はまだ発明されていなかったため、代わりに「幅」、「長さ」、「面積」、「体積」を表す言葉が使用されていました。
ピタゴラスの定理と同様に、二次公式は現場の管理問題に役立ちました。しかし、メルツバッハとボイヤーは、バビロニアの石板に刻まれている問題の多くは「測量や簿記に関する論文ではなく、知的な演習であるように見え、数値関係への抽象的な関心を示している」と指摘した。すでに人々は数学自体が目的であると考え始めていました。
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4. タレスの定理
ギリシャ人に当然の報いを与える時が来た。無数の幾何学的革新の中で、ユークリッドよ、彼らはこの非常に素晴らしい事実を発見しました。円の直径を 1 辺として使用して三角形を作成すると、他の 2 辺は (円周上で交わる場合) 必ず三角形を形成します。直角。証明は長すぎて含めることはできませんが、それがどのように機能するかを見ることができます ここ。
今では初歩的なことのように思えるかもしれませんが、紀元前 6 世紀にタレスとその同時代人たちが論理的推論を使用して世界についての反駁の余地のない真実を発見する実証数学をゼロから発明していたことを思い出してください。彼はバビロンへの旅行中に自分の定理の本質を学んだ可能性は十分にありますが、(少なくとも伝統によれば) それを鉄壁の証明したのは彼でした。それが、それが単なるパーティートリックではなく「定理」である理由です。
「このため、タレスはしばしば最初の真の数学者として、つまり幾何学の演繹的組織化の創始者として称賛されてきました。」とメルツバッハとボイヤーは書いている。
この定理を本当に誰が作成したかを確かめる方法はありません。タレスはピタゴラスと同様にお気に入りでした。しかし、後者は古代の最も有名な方程式の功績を認められているので、これをタレスに持たせましょう。
5. アルキメデスの牛問題
タレスの数世紀後、最も優れたギリシャの数学者はアルキメデスでした。彼が幾何学の革命に忙しくしていなかったとき、 独創的な新しいツールを発明する彼は時々、バートンが「詩的な衣装を着た算数の問題」と呼んだものを楽しんでいた。
彼は、そのような文章題の 1 つを、ある文章からインスピレーションを得ました。 オデッセイ: 「次にあなたはトリナキア島に到着します。そこでは、大勢の牛や太陽の太った羊が餌を与えています。」
アルキメデスは、牛が何頭いるのか知りたかったのです。彼が提起した問題は非常に複雑でしたが、基本的には 2 つの正方形の差に帰着します。これは次のように表すことができます。
アルキメデスの牛の問題
今日、これはペル方程式として知られていますが、この方程式には 2,000 年遅れていたにもかかわらず、誤ってイギリスの数学者ジョン ペルにちなんで名付けられました。とはいえ、アルキメデスや他の初期のそのような方程式の研究者たちは、それらを解くための準備が整っていませんでした。当時彼はそれを知ることはできませんでしたが、彼の最初の謎は次のような解決策を求めていました。
アルキメデスの牛の問題、b
その答えは、1965 年にコンピューターの助けを借りて最終的に到達し、206,545 桁になりました。アルキメデスとその仲間たちについては、「彼らはおそらく関係する方程式を表示して、問題はそのままにしたのだろう」とバートンは書いた。しかし、だからといって、質問を構成するために必要な想像力が損なわれるわけではありません。
ペル方程式は、ピエール・ド・フェルマーからレオンハルト・オイラーまで、現代の偉大な数学的知性の多くを魅了しました。彼らに先立って、インドの数学者ブラフマグプタとバースカラ 2 世 (それぞれ西暦 7 世紀と 12 世紀に住んでいた) は、これらの方程式の整数解を見つけるアルゴリズムを発見しました。そして今日でも人々は続けています 彼らの微妙な点を整理する、古代にまで遡る学術的な一貫性を形成しています。
記事の出典:
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Cody Cottier は Discover の寄稿ライターであり、宇宙と私たちの故郷の惑星、意識の性質、科学の倫理的意味などに関する大きな疑問を探ることが大好きです。彼はワシントン州立大学でジャーナリズムとメディア制作の学士号を取得しています。
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