組み合わせ設計 | 科学のゲーム

セクスティンの第二スタンザ、 先週見たように、6 つの詩の語尾を ABCDEF から FAEBDC に並べ替えます。 同じ基準を 2 番目から 3 番目、3 番目から 4 番目などに適用すると、次のシーケンスが得られます。

ABCDEF、FAEBDC、CFDABE、ECBFAD、DEACFB、BDFECA。

そして、詩的な記譜法で主要な芸術の詩の終わりを示す伝統的な大文字を数字に変更し、連続するスタンザに対応するシーケンスを垂直に配置すると、次のスキームが得られます。

1 6 3 5 4 2

2 1 6 3 5 4

3 5 4 2 1 6

4 2 1 6 3 5

5 4 2 1 6 3

6 3 5 4 2 1

どの行や列にも繰り返しの数字がないため、sestina スキームは、1 ～ 9 の代わりに 1 ～ 6 の数字を使用した、縮小された数独のようなものです。ただし、数学者にとって、以前は 数独はラテン方陣です。 そして今回は、最初のセスティナがオック人の吟遊詩人アルノート・ダニエルによって 12 世紀に作曲され、そのニュースが伝えられている最初のラテン方陣（オイラーによって命名された）は、 ワフク・マジャジ 13世紀のアラビア語写本より。

組み合わせ設計理論

保留されたままになっていた問題 (同じ数のグループに 2 つずつ 1 つのグループにのみ出現する必要がある場合、7 つの要素を 3 つの要素からなる 7 つのグループにグループ化できる方法は何通りあるかを見つける) については、次のとおりです。イグナシオ・アロンソが提供した解決策:

「各要素は 3 つのトリオで構成されます。 たとえば、7 の場合、6 を含む関連トリオはデュオ 65、64…61 (5 つ可能) になります。 最初の値が 765 の場合、4 を含む 2 番目の関連付けは 743、742、または 741 (3 つの可能性)、765 と 743 に関連付けられた 3 番目の関連付けは 72 のみです。合計、5 × 3 = 15 の 3 つの可能なトリオのグループ7 を含まない残りの 4 つのトリオは、これら 15 のグループに関連付けられています (765、743、721)。65、64…61 の 2 倍が含まれます。6 が含まれる可能性があるものは、642、631、または641 、 632 (2 つの可能性)、これら 2 つのそれぞれについて、たとえば 642、631、1 つのアソシエイト 541、532 だけで、この 4 つのトリオのグループを完成すると、15 × 2 = 30 が 7 つの可能なトリオのグループになります。 」

これまで見てきたように、この問題は古典的な問題の簡易版と考えることができます。 カークマンの「女子高生問題」、そのうち、非同形の (つまり、非等価な構造の) 解は 7 つしかありません。 しかし、同型解を含めると、その数は大幅に増加します (計算できますか?)。

これらの問題、そしてラテン方陣の問題は、いわゆる「組み合わせ設計理論」に関係しています。この理論は、 レナード・オイラー、トーマス・カークマン、ジェイコブ・シュタイナー、エドゥアール・ルーカス、および18世紀から19世紀の他の偉大な数学者。 ちなみに、この理論はレクリエーション数学の影響が少なからずあります。 しかし、それは別の記事です。

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