正確なキス | 科学のゲーム

中心が軸 (O) の交点と一致する円の任意の点 (P) の座標は、対応する半径とともに、斜辺が半径 (R) であり脚である直角三角形を形成します。は座標 (x, y) なので、 ピタゴラスの定理によるの場合、x² + y² = R2 という関係が常に成り立ちます。 先週紹介したケースのように、半径が 5 単位の場合、要求された方程式は x² + y² = 25 になります。

解析幾何学とそのデカルト座標は間違いなく デカルトの数学への最も重要な貢献, しかしそれだけではありません。 彼は、昔に扱われた問題をしばしば取り上げ、新たな刺激を与えました。この意味で、角度欠陥の定理 (これについては別の機会に扱います) と接円の定理を強調する価値があります。

4つの接円定理

2 つずつ互いに接する 3 つの円が与えられると、常に 3 つすべてに接する 4 番目の円を描くことができ、それらに内接するか外接することができます。

この問題は、ペルガのアポロニウスによって取り上げられました – もう一度大幾何学を引用する必要があります – が、デカルトは 17 世紀半ばにこの問題を再び取り上げ、4 つの円のそれぞれの曲率間の関係を確立しました (円の曲率を思い出してください)。円はその半径の逆数であり、凸部と凹部のどちらを考慮するかによって正または負の符号が付きます。

1936年にイギリスの化学者は、 フレデリック・ソディ （1921年ノーベル化学賞）定理を再発見し、 彼のバージョンを雑誌に掲載した 自然 というタイトルのユーモラスな詩の形で キスの正確さこの中で彼は、互いに接する 5 つの球体の場合にもそれを拡張しています (英語ができる場合は、インターネットで簡単に見つかるオリジナルを探すことをお勧めします。そうでない場合は、eneasibos にある私の急ぎのバージョンで満足する必要があります) ):

正確なキス

たぶんペアでキスする

三角法は関係ありません。

4人でキスしたらそんなことないよ

それぞれが他の3人に、

なぜなら、そのためには彼らはそうする必要があるからです

あるいは 1 つに 3 つ、あるいは 3 つに 1 つ。

3人に1人ならもらえる

キスは3回とも外から。

3つを1つにするとこうなります

3人は心の中でキスした。

彼らはなんとか4つの円にキスをしました。

小さいほど湾曲します。

曲率はその逆です

半径の、中心までの距離。

そして、これはユークリッドを驚かせましたが、

公理は必要ありません。

曲率ゼロの直線、

マイナス記号の凹線、

平方和です

和の半分の二乗。

球状の混乱を監視するとき、

キスをする人を見ている

骨の折れる作業ですが、

それは最も無差別な領域であるため、

そして今では数組以上のペアがあり、

キス球は5つあります。

しかし、兆候は以前と同じであり、

それぞれ 1 つから 4 つを接触させることで、

和の二乗です

平方和の3倍。

この詩を注意深く読んだ後、あなたは、この詩の読者と同じように、それを数学的な言語に翻訳すること、つまりデカルトの定理を定式化することができますか? 自然?

その前に、コンパス (物理的または精神的) のみを使用して、半径 1、2、および 3 の接線を持つ 3 つの円を 2 つずつ描いてみることができます。 これら 3 つに接する外側の円の半径はいくらですか? そして、内側の接円を持つものは？

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