数学の「ハムサンドイッチ定理」の奇妙に深刻な意味

昼食を考えてみましょう。 おそらく美味しいハムサンドイッチでしょう。 ナイフのスライスでハムとその 2 枚のパンがきれいに半分になります。 しかし、滑ってしまったらどうしますか？ おっと、ハムは裏返した皿の下に折りたたまれて置かれており、パンの 1 枚は床に、もう 1 枚は天井に貼り付けられています。 ここにいくつかの慰めがあります。ジオメトリのおかげで、おそらく部屋ほどの大きさのナタを使って、まっすぐに 1 回切るだけで、転がったランチの 3 切れすべてを完全に二等分することができ、ハムの半分とパンの各スライスの半分がテーブルの両側に残ります。カット。 それは、数学の「ハムサンドイッチ定理」が、次のことを約束しているからです。 どれでも 方向によっては、すべてを同時に二分する直線のカットが常に存在します。 この事実は、政治におけるゲリマンダリングに関連して、いくつかの奇妙な意味を持つだけでなく、いくつかの厳粛な意味も持ちます。

この定理は他の次元にも一般化されます。 より数学的な表現で言えば、 n のオブジェクト n-次元空間は同時に (n – 1) – 次元カット。 そのハムサンドイッチは少し食べ応えがありますが、もっと消化しやすいものにします。 2次元の紙に何でも描ける 二 必要な形状を選択すると、両方を完全に半分に切る (1 次元の) 直線が常に存在します。 3 つの物体を均等に切断することを保証するには、3 次元に段階的に移行し、2 次元の平面でそれらを切断する必要があります。部屋を荒らすナタが部屋の 2 つの半分の間に薄い紙を滑り込ませていると考えてください。 3 次元では、マチェーテには 3 つの自由度があります。部屋中を前後にスキャンし、停止してさまざまな角度に回転させます。 それから また マチェーテを左右に揺すります（ニンジンがまっすぐではなく斜めに切られることが多いのと同じです）。

数学者が好んで行うように、4 次元のハムサンドイッチを想像できれば、4 番目の材料を 3 次元のカットで二等分することもできます。

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ハムサンドイッチ定理を証明する方法を理解するために、単純化したバージョンを考えてみましょう。2 次元の 2 つの形状のうち、一方は円で、もう一方は塊です。 円の中心を通過するすべての線は円を二等分します (非対称の形状には必ずしもこのような中心があるとは限りません。今のところ、作業を容易にするために円を使用しています)。 これらの線の 1 つがブロブを二等分していることはどのようにしてわかるのでしょうか? 円の中心を通る、ブロブとまったく交差しない線を選択します。 以下の最初のパネルに示されているように、ブロブの 100% が線の下にあります。 次に、風車のように円の中心を中心にラインをゆっくりと回転させます。 最終的に、それはブロブを突破し、その多くを切り裂き、その後、ブロブの 0% が線の下にある場所を通過します。 このプロセスから、ブロブのちょうど 50% が線の下にある瞬間があるに違いないと推測できます。 100 パーセントから継続的に 0 パーセントまで徐々に下がっていくので、その間のすべての量を通過する必要があります。つまり、ある時点でちょうど 50 パーセントになります (微積分のファンはこれを中間値定理として認識するかもしれません)。

この議論は、図形を同時に二分する何らかの線が存在することを証明します (ただし、その線がどこにあるのかはわかりません)。 これは、円の中心を通るすべての線が円を二等分するという便利な事実に基づいているため、円を無視することを心配することなく、線を自由に回転してブロブに焦点を合わせることができます。 2 つの非対称の形状には、風車テクニックのより巧妙なバージョンが必要であり、3 次元への拡張には、より洗練された議論が含まれます。

興味深いことに、ハムとパンが複数の部分に分割された場合でも、この定理は成り立ちます。 クッキーの抜き型を使ってハムの雪だるまを型抜きし、パンを焼いてクルトンを作ります。 完全に均等なカットが常に存在します (各雪だるまやクルトンが必ずしも半分になるわけではありませんが、ハムとパンの合計量は半分になります)。 この考えを極端に解釈すると、ポイントについても同様の主張ができます。 紙に赤と緑の点を散りばめると、常にその両側にちょうど赤の半分と緑の半分が入った直線ができます。 このバージョンには少し専門的な技術が必要です。分割線上に正確にある点は、どちらの側でも数えることも、まったく数えることもできません (たとえば、赤の数が奇数の場合、この注意がなければ均等に分割することはできません)。

ここで奇妙な意味を考えてみましょう。 アメリカ全土に線を引くと、全米のスカンクのちょうど半分が生息するようになる そして Twix バーの半分はラインの上にあります。 スカンクとトゥイックス バーは実際には単一の点ではありませんが、アメリカ大陸の広大なキャンバスと比較すると、単一点と同じかもしれません。 次元を上げて、地球上に円を描くことができます (地球をスライスすると、円形の断面が残ります)。そこには、世界の石の半分、紙の半分、ハサミの半分、またはその他の任意のおかしなカテゴリが含まれます。 。

前述したように、ハムサンドイッチ定理は、政治におけるゲリマンダリングという長年の問題に対して、それほど奇抜な影響を及ぼしません。 米国では、州政府が州を選挙区に分割し、各選挙区で下院議員を選出します。 ゲリマンダリングとは、政治的利益のために意図的にこれらの地区の境界を切り開く行為です。 単純化した例として、人口 80 人の州を想像してください。 そのうちの75パーセント（60人）は紫色の党を支持し、25パーセント（20人）は黄色の党を支持している。 同州はそれぞれ20人ずつの4つの地区に分割される。 議会における州の代表が住民の好みと一致するように、これらの選挙区のうち 3 つ (75%) を紫色にし、残りの 1 つを黄色にするのが公平であるように思われる。 しかし、狡猾な地図作成者は、各地区に紫色票が 15 人、黄色票が 5 人含まれるように地区の境界線を波線で描くことができます。 このようにすれば、紫色党がすべての選挙区で過半数を占めることになり、州の代表の75パーセントではなく100パーセントが紫色党によるものとなるだろう。 実際、十分な数の有権者がいるのに、 どれでも 一方の当事者が他方に対して持っている割合の優位性（たとえば、紫が 50.01 パーセント、黄色が 49.99 パーセント）を利用して勝利することができます。 毎 地区; すべての選挙区の 50.01 パーセントが多数党を支持するようにすればいいのです。

もちろん、それらの地区は非常に人工的に見えます。 ゲリマンダリングを抑制する一見明白な方法は、選挙区の形状に制限を設け、アメリカの選挙地図でよく見かける触手の生えた怪物を禁止することだろう。 実際、多くの州がこのような規則を課しています。 地区に「通常の」形状を義務付けることは問題を改善するのに大いに役立つように思えるかもしれないが、賢い研究者たちはある幾何学定理を適用して、それがいかに愚かなことであるかを示した。 例をもう一度見てみましょう。60 人の紫色の支持者と 20 人の黄色の支持者からなる 80 人の有権者です。 ハムサンドイッチ定理は、投票者がどのように分布しているかに関係なく、どちらかの側に紫色の投票者のちょうど半分と黄色の投票者の半分がいる直線を引くことができることを示しています (両側で紫色 30 人、黄色人 10 人)。 次に、カットの各辺を独自のハムサンドイッチ問題として扱い、それぞれの半分を独自の直線で分割し、結果として得られるすべての領域に 15 個の紫色と 5 個の黄色が含まれるようにします。 パープルは以前と同じゲリマンダーの利点を持っています (すべての地区で勝利しています)。しかし、結果として得られるリージョンはすべて直線の境界を持つ単純なものです。

ハムサンドイッチの細分化を繰り返すと、常に比較的単純な地区が生成されます (数学的に言うと、既存の州境と境界を共有する可能性がある場合を除き、地区は凸多角形です)。 これは、議会選挙区の形状に関する基本的な規制では、ゲリマンダリングの最悪の例さえもおそらく排除できないことを意味します。 数学と政治は遠い分野のように思えるかもしれませんが、無駄な幾何学的な転用は、ゲリマンダリングに対する最も自然に聞こえる解決策がマスタードをカットするものではないことを教えてくれました。