アマチュア数学者が長年の数学の問題を AI で解決

アマチュア数学者は人工知能チャットボットを使用して長年の問題を解決しており、この動きは専門家を驚かせています。問題となっている問題は数学の規範の中で最も進んだものではないが、AI モデルがこの問題に取り組むことに成功したことは、その数学的性能が重要な閾値を超えたことを示しており、私たちの数学のやり方を根本的に変える可能性がある、と研究者らは述べている。

AI によって解決される問題は、60 年以上にわたるキャリアの中で、有用だが難しい問題を提起する能力で有名だったハンガリーの数学者パウル エルデシュに由来しています。 「質問は非常に単純ですが、非常に難しい傾向がありました」と英国マンチェスター大学のトーマス・ブルーム氏は言います。

エルデシュが 1996 年に亡くなるまでに、これらの未解決の問題は 1000 以上存在し、組み合わせ論 (組み合わせの研究) から数論に至るまで、幅広い数学分野に及んでいました。問題をカタログ化し、問題解決における数学者の進歩を追跡するウェブサイトを運営するブルーム氏は、現在、それらはこれらの分野の進歩の道しるべとみなされている、と語る。

エルデシュの問題は簡単に述べることができることが多いため、数学者はそれを ChatGPT などの AI ツールに入力する実験を始めました。ブルーム氏は、昨年 10 月に、人々が AI モデルを使用して、解決策に役立つ数学文献から関連する参考文献を見つけるのを目にし始めたと述べています。

その後すぐに、AI ツールは結果の部分的な改善を発見し始めました。その一部は過去の論文で発見されていましたが、その他は新しいように見えました。

「その時は驚きました」とブルームは言う。 「以前、ChatGPT を試してみたとき、それはただの論文で、完全に幻覚だったので、使用を諦めていました。しかし、10 月頃に何らかの変化があったのは明らかです。実際に本物の論文を見つけたのは、ChatGPT がすべての論文を、そして多くの場合、重要な方法で読んでいたからです。」

この進歩に触発されて、ケンブリッジ大学の数学学部生であるケビン・バレット氏とアマチュア数学者のリアム・プライス氏は、AI で解決できそうな単純で研究が不十分なエルデシュの問題を探し始めました。そのような問題の 1 つである数論の予想である番号 728 を見つけた後、彼らはそれを ChatGPT-5.2 Pro に供給して解決しました。

「ステートメントを見て、『これは ChatGPT で解決できるかもしれないので、試してみよう』と思いました」と Barreto 氏は言います。 「案の定、それは非常に素晴らしい議論であり、実際にはかなり洗練されたものであると多くの人が同意するでしょう。」

ChatGPT が証明を作成した後、Barreto 氏と Price 氏は、AI 企業 Harmonic が作成した Aristotle と呼ばれる別の AI ツールを使用して、その成果を検証しました。アリストテレスは、従来の言語証明を、数学的プログラミング言語である Lean で記述された証明に変換します。その後、コンピュータによってその正確性が即座にチェックされます。ブルーム氏によれば、これは研究者が結果が正しいかどうかを確認するために必要な限られた時間を節約するため、重要なステップだという。

1 月中旬の時点で、6 つのエルデシュの問題が AI ツールによって完全に解決されましたが、プロの数学者によるその後の精査により、これらの問題のうち 5 つは以前に数学文献で解決されていたことが明らかになりました。唯一の問題番号 205 は、既存の解決策なしで Barreto と Price によって完全に解決されました。 AI ツールにより、文献に存在していないと思われる他の 7 つの問題に対する小さな改善と部分的な解決策も可能になりました。

その結果、これらのツールが本当に新しいアイデアを証明しているのか、それとも単に古い忘れ去られたソリューションを掘り起こしているだけなのかについて、議論が続いています。ブルーム氏は、AIモデルは多くの場合、問題を新しい形式に変換する必要があり、エルデシュについてまったく言及していない論文を発見していると指摘する。 「これらの論文の多くは、私が見つけることはできなかっただろうし、おそらくこの種の文書がなければ、もっと長い間誰も見つけることもできなかったでしょう」 [use of] AI ツールです」と彼は言います。

もう一つの問題は、このアプローチがどこまで実現できるかということです。これらの問題はすべて数学の中で最も難しい問題ではなく、おそらく博士課程 1 年生でも達成できる問題ですが、それでも素晴らしいとブルーム氏は言います。 「私にとって、AI がそれを可能にするというのは信じられないことです。なぜなら、これには並大抵の努力が必要だからです。」

Barreto 氏はまた、現在の AI モデルでは解決できない、より困難なエルデシュの問題と比較しても、解決されている問題は比較的簡単だと述べています。 “一度 [AI] 「懸賞金の問題を解決するには、その多くはより有能なモデルが必要になるでしょう。」と彼は言います。最も難しい問題の中には、それを解決できた人に賞金が用意されているものもありますが、それがすぐに実現する可能性は低いとバレット氏は考えています。モデルはまだいないと思います。」

インペリアル・カレッジ・ロンドンのケビン・バザード氏は、AIを使用したエルデシュの問題の解決は前進が期待できると述べているが、AIが解決している問題のほとんどは比較的単純なものであるか、ほとんど注目されていないため、それが重要な成果なのか、それとも専門家が懸念すべきものなのかを判断するのは難しいという。 「これは進歩ですが、数学者たちはまだ目を背けるつもりはありません」とバザード氏は言う。 「緑の新芽です。」

しかし、たとえモデルの能力が静的であっても、比較的複雑な数学を処理できる能力は、研究者が研究し証明を書く方法を根本的に変える可能性がある、とブルーム氏は言う。なぜなら、それによって、特定の専門分野以外の分野の知識が限られている数学者が他の分野を活用できるようになるからである。

「数学のあらゆる部分を知っている人はほとんどいません。つまり、使用できるツールのセットがかなり限られているということです」とブルーム氏は言います。 「他の人間に迷惑をかけたり、役に立たない可能性のある知識を学ぶのに何ヶ月も費やしたりする必要がなく、即座に答えを得ることができるという事実は、非常に多くのつながりを開きます。これは私たちが目にするであろう大きな変化であり、行われる研究の範囲が増えるだけです。」

これにより、数学者はまったく新しい作業方法を実践できる可能性もある、とAI支援によるエルデシュの問題解決法の検証に協力したカリフォルニア大学ロサンゼルス校のテレンス・タオ氏は言う。

数学者は時間が限られているため、少数の難しい問題に焦点を当てることがよくありますが、それほど難しくないが依然として重要な問題の多くはあまり注目されません。 AI ツールをそれらに一度に適用できれば、より経験的で科学的な数学のやり方につながる可能性があり、問題を解決するさまざまな方法を大規模にテストできる可能性がある、とタオ氏は言います。

「専門家の注意をどれだけ受けられるかによってリソースが非常に限られているため、研究できるすべての問題の 99 パーセントに目を向けることができません」とタオ氏は言います。 「ですから、私たちは、何百もの問題を調査して、本当に興味深い問題を 1 つか 2 つ見つけようとするようなことはしません。あるいは、2 つの異なる方法があるが、どちらが優れているかといった統計調査も行いません。」

「これは、まだ行われていないタイプの数学です」と彼は言います。 「知的リソースがないため、私たちは大規模な数学を行っていませんが、AI はそれが可能であることを示しています。」