スピログラフの数学|非周期的

あなたが落書きや楽しいおもちゃに興味があるような人なら、楽しい落書きのおもちゃのスピログラフ、またはブランドのない同等物に遭遇したかもしれません。芸術的な描画ツールときちんとした数学的ガジェットの間の連続体のどこかにあります。

馴染みがない場合は、装置には、歯の付いた円形の穴の中に置かれたプラスチック製の歯車が含まれ、ペン/ペンシルを通過するために穴があります。ペンを穴の1つに置いて動き回ると、興味深いパターンを描くことができます。Cogの円と歯の歯は、円を動かして同時に回転させ、適切な圧力をかけて順に移動し、正しい方向には、円の内側に転がして、面白い形を作ることができます。

多くの人がそれで遊んで、いくつかの興味深いパターンを生み出し、おそらくいくつかの数学が起こっているという漠然とした感覚を持っていたでしょうが、私は多くの人がそれについてあまりにも困難に考えていないと思う。私は確かに、最近まで誰かが私にミニスピログラフキットをギフトとしてくれたときまではしませんでした。これにより、このことがどのように機能するか、そしてどのような形を作ることができるかを少し深く掘り下げることができました。

ループのループ

最初に気付くのは、スピログラフで描くラインは最終的にそれ自体に戻ってくるということです。描画中に台無しにならないと仮定したり、ペンを穴の外側を動き回る動きによって制約されていない方法でペンを動かしたりすると、最終的に一致します。これは、コグの歯の数と穴の歯の数が両方とも（できれば）有限の整数であるため、有限数の場所とオリエンテーションがあるためです。最終的には、最終的には、あなたはたとえサークルを回りながら、あなたが始めたのと同じ場所にあるペンで終わります。

最も単純な形では、スピログラフは別の円の中を移動する円で構成されています。これは、その動きを予測できることを意味し、あなたが得る線は、いくつかの要因に依存する可能性があります。

• 大小のサークルの相対サイズ
• 小さな円の中にはペンホールがあります
• 小さな円が大きな円の中から始まります。

もう少し考えた後、これらの最後は無関係であることが明らかになります。ビッグサークルの他の場所の小さな円から始めて、他のすべてを同じに保つと、同じデザインになります。別の角度まで。小さな円が始まる場所から移動することの主な効果は、開始時にあなたがいる動きを通してどれだけ離れているかを変えることです。また、ラインがそれ自体に結合するので、どこからでも開始して全体を描くことができます。

これらの2番目の1つ – 小さな円の内側にペンホールがある – も、私たちが必要とするよりも少し多くの情報です。小さな円の方向は大きな円を回ると変化するので、ペンの位置について重要なのは、中心からどれだけ離れているかだけです。つまり、コグに2つの穴がある場合、コグの中心から同じ距離にある場合、同じ場所から始めても同じパターンを描きます。ラインに沿った別のポイントから始めます。

したがって、私たちの実際の重要な要素は次のとおりです。

• コグの中心からペンホールまでの距離。これを$ p $と呼びます
• 大きな穴とコグの相対的なサイズ – それらの半径を$ r $と$ r $と呼びましょう。

単純なケース

複雑なことを理解しようとする1つの方法は、単純化するものを選び、何が起こるかを見ることです。コグの中心からの最初の変数 – ペンホール距離、$ p $を考えてみましょう。これを簡素化する1つの方法は、ペンホール距離$ p = 0 $を作成することです。つまり、ペンをコグの中心に置くことです。小さな円に比べて移動します。

これにより、大きな穴の中心を中心とした単一の円のみのスピログラフ描画が生じます。この円の半径は、ペン穴が大きな穴の外側の端から固定距離にあるため、コグの半径を差し引いた大きな穴の半径になります。

これをわずかに変化させると、ペンをコグの中心からわずかに遠ざけると、動きの範囲はまだほぼ円になります – 中央の周りのポイントの輪に制限され、波状の線を形成します – そしてあなたは十分に回りますので、ラインはたくさん重なり、それはただ太いバンドのように見えます。

他の極端はどうですか？ペンホールが何らかの形でコグの端（$ p = r $）にあった場合、それがメカニズムに干渉しないと仮定すると？その場合、それが描く形は hypocyclid – 円の外側の端から跳ね返り、真ん中に向かって移動してから端に戻るカーブのセット。これらの形状は、湾曲した尖った星のように見えます。星が何ポイントであるかを決定するのか疑問に思うかもしれません。後でそれに戻ります。

インベットウィーナー

これらは単純なケースです。もっと面白くしましょう！ペンホールがコグの中央または端にない場合はどうなりますか？モーションは、$ p $と$ r/r $の値に依存します。

考慮すべき特別なケースが1つあります。これは、小さな円が大きなサイズのサイズの正確なサイズの場合です：$ r = 2r $。この場合、それは内側を転がり、それがそうするように1回のフルターンを完了します。これは、ペンホールが一貫して大きな穴の側面の端に近づき、さらに上部と下部にあることを意味します。ペンホールは楕円形の形状を追跡します。これは、小さな円が転がるたびに完全なターンを完了するため、ラインがすぐに再び一致するためです。 $ p $の値は、楕円がどれほど先の尖ったかを決定します。 （人々はおそらく彼らが退屈だと不平を言うので、スピログラフキットでこのサイズの歯車を含める傾向はありません。）

では、一般的なケースはどうですか？ $ 0がある場合

相対円のサイズとペンホールの距離に応じて、さまざまな種類の形状を得ることができます。これは、先のとがった甲状腺機能低下に近いものと円に近いものです。穴が近くにあるが、端にないとき、先のとがった端は薄いループになります。穴が近くにあるが中央にない場合、それは円を描くようなものであるが、始めた場所でわずかに欠けているので、あなたはかなり滑らかなものを手に入れますが、それは中央からゆっくりと揺れます。

これらのタイプの形状が呼ばれます hypotrochoids、そして、それらは先の尖ったものから滑らかなものまで及ぶことができます。 （上記の陽性陽性は、$ p $の極値の場合、円と同様に甲状腺機能低下の特別な症例です）。また、相対的な円のサイズに応じて、異なる数のポイントを持つこともできます（議論されているように、先のとおりは異なる場合があります）。実際、これらを分類する1つの方法は、それらの対称性によるものです。

いくつのポイント？

スピログラフ画像には回転対称性があります。つまり、角度を通過して同じ形状を得ることができます。回転の程度は、それをすべて回転させる前にこれを行うことができる回数を示します（または、360度の割合があなたがそれを回して同じものを取得する最小の角度でどのくらいの割合ですか）。たとえば、正三角形には程度の回転対称性（または、順序）3があります。

スピログラフの描画の程度は、それが先のとがった星であろうと滑らかな波状のものであろうと、rとr、特に$ frac {r} {r} $の間の関係に依存します。今すぐスピログラフで遊びたい場合は、この関係が何であるかを考えてみてください。 Geogebraアニメーション それを解決するために。

開始する1つの方法は、もう一度単純化することです。これの悪い例は、大きな円と小さな円を同じサイズにすることです：$ r = r $。彼らはギアなので、これはそれが回らないことを意味します。たぶんそれは単純すぎます！

小さな円のサイズが優れた固定画分、たとえば$ r = 3R $、大きなもののサイズの3分の1である場合、図面には程度の対称性があります。三角形。四半期（$ r = 4R $）の場合、正方形の対称性などがあります。これまでのところ、とてもシンプルです。

2つがきちんとした分数比でない場合、たとえば$ r = frac {7} {2} r $など、最初に始めた場所に戻ったときに形状が結合しないことがわかります。 2つの完全な回転を行うまで、跳ね返り、回り続けます。合計7つのローブ、またはポイント、または繰り返される形状が何であれます。

一般的に、$ r $と$ r $の2つの値を取得し、それらを最低項で分数として書き込む場合 $ frac {r} {r} $、2つの数値のうち大きいほど対称性の程度になります。これは、2つの数値の中で最も一般的な倍数を$ r $と$ r $の最小倍を取得し、それを大きいもの（$ r $）で除算することと同等です。

円の円周は半径のわずか2倍であるため、円の円周を表す2つの数値のほんの一部を取る場合にも機能します（上下の2πはキャンセルします）。円周の尺度は、実際に歯の数を数えることで見つけることができます。したがって、60ドルの歯と20ドルの歯、$ 20/60 = 2/6 = 1/3 $の小さなコグがある大きな穴がある場合、対称性には3ドルがあります。それらが65ドルと25ドルの場合、それは最低条件で5/13ドルであるため、学位は13ドルです。

数学により、特定のスピログラフの歯車とペンホールの選択を考えると、何が起こるかについて予測することができます。最寄りのスピログラフまたは同等物をつかみ、予測を行い、それが機能することを確認してください。そして、あなたがすでに卓越した楽しいおもちゃで遊ぶことができるこの新しい楽しいゲームを歓迎します。

あなたが私がピーターとこのいくつかをチャットしているのを聞きたいなら、あなたは私たちの話を聞くことができます スピログラフの数学的オブジェクトポッドキャスト。