数学者が球体が「キス」する新しい方法を発見

より高い次元では、問題はさらに難しくなります。

それはそうだった 4次元で解決される、8 次元と 24 次元でも、数学者は次のことを行うことができました。 球体を最適に詰める 見事に対称的な格子構造になります。しかし、球体間にさらに多くの空間が現れる他のすべての次元では、問題は未解決のままです。代わりに数学者はキスの回数の推定値を導き出し、多くの場合かなり離れている上限と下限を計算しました。このような場合、問題はもはや球を 1 つ追加できるかどうかではなく、数百、数千、さらには数百万も追加できるかどうかです。

これらの推定値を改善するために、数学者は通常、8 や 24 のような次元で解を与えたときと同じ直観に従い、球をできるだけ対称に配置する方法を探します。しかし、最高のアレンジメントがさらに奇妙に見える可能性はまだあります。 「まったく対称性のない構造も存在するかもしれない」と述べた。 ガブリエレ・ネーベ ドイツのアーヘン工科大学の博士号を取得。 「そして、それらを見つける良い方法はありません。」

そして、2022 年の春、マサチューセッツ工科大学の学部数学専攻が アンキ・リー それらの奇妙な構造物を探しに行くことにしました。クラスのプロジェクトに取り組んでいるときに、彼女は一見シンプルなアイデアを思いつきました。これにより、彼女と教授は、 ヘンリー・コーン、 に キス回数の推定値を改善する この研究は、これらの次元の問題について 1960 年代以来初めての進歩を示し、潜在的な解決策により多くの無秩序を注入する利点を示しています。

「通常、非常に強力な対称格子を使用します」と、2003 年に次元 4 での最適なキス数を証明したテキサス大学リオグランデバレー校のオレグ・ムーシン氏は述べました。「彼らが提案しているものは、何か違うものです。」

実際、彼らの証明は、数学者が従来のアプローチから逸脱したためにのみ可能となった最近の一連の球体パッキング結果の最新のものです。 「キス問題で事態は停滞したが、それは私たちが真実に収束しつつあったからではない」とコーン氏は語った。 「私たちは行き詰まってしまいました。」行き詰まりを解消するには、いくつかの暗黙のルールを破る必要があることが判明した。

コードからキスまで

20 世紀半ば以来、数学者は情報理論と誤り訂正の数学に頼って、球の配置に関する問題を解決してきました。

エラー訂正コードを使用すると、送信中にメッセージの一部が歪んだり破損したりしても、受信者が理解できるメッセージを送信できます。コードは基本的に、受信者が元のメッセージを復元するためのキーとして使用できる、一連の「コード ワード」（考えられるメッセージの辞書）で構成されています。これらのコード ワードは慎重に選択する必要があります。受信者がエラーを修正するときにどのコード ワードを使用するかを認識できるように、コード ワードは十分に区別できる必要があります。

数学者はこの問題を球面で視覚化することがよくあります。各コードワードは、球の中心にある高次元の点と考えることができます。エラーで満たされたメッセージ (高次元の点として表される場合) が特定の球の内部に存在する場合、球の中心にあるコード ワードが意図されたメッセージであることがわかります。これらの球が重なり合うことは望ましくありません。重なり合うと、受信したメッセージが複数の方法で解釈される可能性があります。ただし、球体が離れすぎてはいけません。球体をしっかりと詰めると、より効率的に通信できるようになります。

より良いコードはより良い球のパッキングにつながり、その逆も同様です。たとえば、1967 年に数学者のジョン・リーチは、後に NASA がボイジャー探査機と通信するために使用したことで有名な、信じられないほど効率的なコードを使用して、 点の格子を構築する それは今彼の名前を冠しています。 50 年後、コーンと他の数人の数学者は、この格子を使用して次のことができることを証明しました。 球をできるだけ密に詰める 24次元空間へ。この格子はキスをするのに最適な配置でもあります。各球体は 196,560 個の隣接する球体と接触します。 「ヒル格子は数学の奇跡であり、物事がうまく組み合わされる方法です」とコーン氏は語った。

この格子はまた、数学者に次元 17 から 23 までのキス回数の最良の推定値を与えました。彼らは、3D 球をスライスして 2D 円を得るのと同じように、単純に格子のスライスを取得して低次元のスライスを取得しました。

しかしこれは、リーチ格子がそれらの次元でのキス問題に「大きな影を落としている」ことも意味しているとコーン氏は語った。数学者がどのように試みても、リーチ格子のスライスを取得することが解への正しい道ではないと疑っていたにもかかわらず、より良い推定を与える構造を見つけることができませんでした。

ゴーイングローグ

2022 年にプロジェクトに取り組み始めたとき、リーさんは当初、新しい道を探すつもりはありませんでした。最初、コーンさんは、24 次元より高い次元でのキスの問題に焦点を当てることを提案しました。これらの次元では、キス数の現在の最良の推定値は、はるかに粗いです。多くの場合、これらを改善するには、創造的な新しいアプローチを見つけるというよりも、計算の進歩を図る必要があります。コーン氏は、コンピューターベースの手法を使用して、そのような高次元のケースですでに進歩を遂げている他の学生のことを知っていました。彼は、リーにもそれができると考えた。

しかし、彼女はその仕事にイライラを覚えた。 「手が縛られているようなひどい感覚を感じました」と彼女は語った。 「イメージするのは不可能でした。」その代わりに、彼女は少し悪党になりました。

彼女は次元 17 から 23 に目を向けました。 「私は彼女に、改善の可能性を模索しても何もうまくいかなかったとしても、まだ A を獲得できるだろうと言いました」とコーン氏は思い出します。もし彼女が彼の大学院生だったら、彼は彼女に別のことに取り組むようもっと説得しようとしただろう。 「もし彼らが絶望的なことに取り組んでいたら、それは彼らのキャリアに悪影響を及ぼすだろう」と彼は言う。

しかし、彼女の努力の結果、「はるかにエキサイティングなものになった」と彼は付け加えた。

彼女は次元 16 を調べることから始めました。そこでは、最高のキスの配置は「バーンズ・ウォール格子」から来ました。これは、エレガントな誤り訂正コードを使用して 1950 年代に発見されました。 （それはヒル格子のスライスであることも判明したが、それはさらに10年間発見されなかった。）

コードは 2 つの異なるタイプの点のみで構成されており、それぞれが特定の座標パターンを満たします。

これらの点の定義方法には奇妙な点があります。Barnes-Wall 格子 (および Leech 格子のすべての高次元スライス) では、最も一般的なタイプの点、つまり球の中心には常に偶数のマイナス符号があります。その座標。これにより、点間に十分な距離が確保され、特に作業しやすい対称構造が得られます。

しかし、リーさんは、代わりにこれらのポイントで奇数の記号を使用したらどうなるだろうかと考えました。彼女が注意していれば、必ずしも球が重なるとは限りません。彼女の知る限り、これまでわざわざ試してみた人は誰もいませんでした。 「私たち二人とも、それが重要だとは思っていなかったように思います」とコーン氏は語った。しかし、リー氏は、このように格子内のいくつかの点を変更することで、より多くの球体を収容できる程度に格子を変形できる可能性があるのではないかと考えました。

彼女が次元 16 でバーンズウォール格子の「奇妙な」バージョンを構築したとき、追加の球体を配置するスペースはまったくありませんでしたが、何も悪化することはありませんでした。しかし、彼女がそのコピーをレイヤーに貼り合わせて 17 次元の構造を作成したとき、新しい点を追加できる隙間が明らかに存在しました。構造内の既存の球体までの距離を計算したときに、新しい球体が追加されることが明らかだった穴です。フィットする可能性があります。最初、彼女はそれを信じられませんでした。彼女は気分が高揚するどころか、不安を感じた。 「友達に、きっと基本的な算数を間違えたんだ、と言ったのを覚えています」と彼女は語った。

コーンさんは最初は懐疑的でした。この種の計算では、特に希望的観測が含まれている場合には、ちょっとした間違いが起こりやすいのです。そこで彼らはコンピュータ上で彼女の新しい点の配置をチェックしました。それはうまくいきました。すべての球が正しくフィットしました。

その夏、リーはマイクロソフト リサーチでインターンとしてコーンとともに働き、そこで二人は使用しているエラー訂正コードを注意深く改良し、リーの「奇妙な」17 次元構造に互換性のある球体を追加し続けることができました。最終的に、彼らは 1967 年からのヒルに基づく推定値に 384 個の新しい球体を追加することができ、キス数の下限は 5,730 個になりました。

次に、彼らは同様のテクニックを適用して、次元 18 から 21 までのキス数を改善しました。しかし、次元 22 と 23 では、彼らの戦略は失敗しました。彼らはサインをひっくり返すアプローチを使い果たしたようでした。

ペアの 新しい構成 おそらく最適ではありません。たとえば、次元 17 では、推定される上限は 10,978 です。これは実際の解に対する大幅な過大評価とみなされますが、下限を改善する余地がまだ大きいことを示唆しています。

しかし数学者たちは、コーン氏とリー氏がどのようにして利益を達成したのかにもっと興味を持っている。それらの新しい構造は、ヒル格子からインスピレーションを得た高度に対称的な構造とは大きく異なります。球体を追加するために使用したコードベースの方法により、より不規則な構成が可能になり、まったく新しいものになりました。

新たな前進

標識を変更すると、より多くの球体を配置できる十分なスペースが生じる理由は不明です。それはまさにそうです。 「今でもそのことに動揺しています」とコーン氏は語った。しかし、この研究は、「一見取るに足らない変化が、いかに可能性を開いたり閉ざしたりするか」を示している、と彼は付け加えた。その意味で、このことは、キスの問題について実際に数学者がいかにほとんど知らないかを明らかにしている。

新しい誤り訂正コードと球パッキングを構築するとき、数学者は通常、対称性に依存します。それがリーチのしたことだ。これにより、構築プロセスがより簡単かつ直感的になります。しかし、それは可能性を閉ざしてしまう可能性もあり、他の構造、つまりより無秩序な構造や直感的ではない対称性を伴う構造に対する美しい解決策の先が見えにくくなります。 「人間が理解できる記述がないだけで、私たちは真実に近づいていないのかもしれない」とコーン氏は語った。

最近のいくつかの結果は、これらのアクセスしにくい可能性の可能性を裏付けています。ここ数年、数学者たちは次のことを考え出しました。 賢い新しい構造 通常の対称性ルールを曲げたり破ったりすることにより、次元 5、10、11 で作成できます。

コーン氏は特に次の研究に驚いた。 フェレンツ・ソルジ、ハンガリーの数学者で、意図的に 4 次元での次善の球の配置から始めて、それを基に構築しました。 次元 5 の既存の最良の推定値と一致する。何十年にもわたって、その推定値を生成する 2 つの構造がありました。ほとんどの数学者は他に存在するはずがないと考えていました。突然、ソルジが3本目を手にした。 「驚かされる可能性があることが証明されました」とコーンは言い、その後、別の生徒と協力して、 4番目を見つける。

彼らが発見した異常な構造物はすべて、「真実が何であるかについての小さなヒントや手掛かり」を与えてくれる、と彼は付け加えた。 「キス問題は未だに謎が多い。」