素晴らしい偶然、あるいは予想通りのつながり: なぜ π² ≈ g なのか。

さて、次の質問です。いったいどうしてπ² は g とほぼ等しいのでしょうか。このような質問は社会では聞かれないと言うかもしれません。まず第一に、それらは正確に等しいわけではありません。すでに小数点第 2 位で違いがあります。第二に、π は無次元数ですが、g は独自の単位を持つ物理量です。

しかし、どう考えても、これは単なる偶然ではないはずです。

まず右側をよく見てみましょう。9.81 という値は m/s² 単位です。しかし、これらは測定単位の唯一のものではありません。この値を他の単位で表すと、魔法はすぐに消えてしまいます。これは偶然ではありません。メートルと秒についてさらに詳しく見てみましょう。

「メートル」とはいったい何で、π とどう関係があるのでしょうか。一見すると、まったく関係ありません。Wikipedia によると、「メートルとは、真空中を光が 1/299,792,458 秒の時間間隔で移動する距離です」。これで秒が関係するようになりました。すばらしいですね。しかし、π についてはまだ何もわかりません。

ちょっと待ってください。なぜ 1/299,792,458 なのでしょうか。たとえば 1/300 ではだめなのでしょうか。そもそもこの数字はどこから来たのでしょうか。これをよりよく理解するには、長さの単位自体の歴史を詳しく調べる必要があるようです。

昔、人々は標準にあまりこだわらず、測定に便利なものだけを気にしていました。たとえば、長さを人間のキュビットで測ってみてはどうでしょうか。正確ではないかもしれませんが、安価で信頼性が高く、実用的です。また、人によってキュビットの長さが異なるという事実も、時には役に立つことがありました。布をもっと買う必要がある場合は、村で一番背の高い人を呼び、その人のキュビットで布を測ってもらいます。

もちろん、その後、人々は標準化について考え始めました。さまざまな標準を作り始めました。しかし、これは不便で面倒であることがわかりました。測定に常に単一の標準を当てはめることはできませんでした。そのため、標準のコピーが登場し始めました。そして、コピーのコピーが…

真面目な人たちは、このような混乱が真面目な仕事の妨げになっていると判断し、目標を設定しました。それは、恣意的な基準に依存しない長さの単位の定義を見つけることです。長さの単位は自然定数のみに依存し、基本的なツールがあれば誰でも再現して測定できる必要があります。

メートルの「標準のない」定義は、実は 17 世紀に提案されました。オランダの機械工、物理学者、数学者、天文学者、発明家であるクリスティアーン ホイヘンスは、この目的のために単純な振り子の使用を提案しました。小さな物体を紐で吊るします。紐の長さは、振り子がちょうど 2 秒で完全に振動する (元の位置に戻る) ような長さでなければなりません。この紐の長さは、「ユニバーサル メジャー」または「カトリック メートル」と呼ばれていました。この長さは、現代のメートルと約 0.5 センチメートル異なっていました。

この提案は好評を博し、採用されました。しかし、すぐに問題が起こりました。まず、ホイヘンスは「数学的振り子」と彼が呼ぶものを扱っていました。これは「無重量で伸縮しない紐に吊るされた物質点」です。物質点と無重量の紐は、すべての商人が手元に持っているような単純な道具ではありません。

第二に、振り子の弦の長さは地球のさまざまな場所で異なることがすぐに発見されました。重力は赤道に近づくにつれて巧妙に減少し、標準化という人類の明るい夢に協力しませんでした。

しかし、謎の方程式に戻りましょう。数学的振り子の小さな振動の周期を吊り下げ長さの関数として求めるには、次の式を使用します。

そして、これが私たちのπです！ホイヘンス振り子のパラメータをこの式に代入してみましょう。ホイヘンス振り子の弦の長さ l は 1 です。T 振動は 2 です。これらの値を式に代入すると、π²=g となります。

それで、私たちの質問の答えは見つかったでしょうか? まあ、まだ完全には見つかりません。この等式は近似値にすぎないことはすでに確認しました。9.87 と 9.81 を正確に等しくするのは適切ではないようです。これは、それ以降にメートルが変わったことを意味するのでしょうか?

はい、確かに変化しました。これは、1791 年にフランス科学アカデミーが開始した測定単位の改革中に起こりました。賢明な人々は、振り子によるメートルの定義を維持することを提案しましたが、具体的にはフランスの振り子、つまり北緯 45 度 (ボルドーとグルノーブルの間) にある振り子であるべきであることを明確にしました。

しかし、改革を担当した委員会は、この方針に納得しませんでした。問題は、委員会の委員長であるジャン＝シャルル・ド・ボルダが、角度測定の新しい（革命的な）システムへの移行を熱心に支持していたことです。そのシステムは、グラード（グラードは直角の 100 分の 1）を使用していました。グラード 1 つは 100 分に分割され、1 分は 100 秒に分割されていました。秒振り子の方式は、このすっきりとした概念に適合しませんでした。

結局、彼らは秒をなくすことに成功し、メートルをパリ子午線の 4000 万分の 1 と定義しました。あるいは、パリの経度にある地球の楕円体の表面に沿って北極から赤道までの距離の 1000 万分の 1 と定義しました。この測定は「振り子」メートルとはわずかに異なります。委員会は、謙遜することなく、結果として得られた値を「真の最終的なメートル」と名付けました。

誰もが利用できる世界標準というアイデアは、さよならを告げ、日没とともに消えていきました。メートルの正確な標準が必要ですか? 問題ありません! 子午線の長さを測り、それを数百万で割るだけです。ちなみに、フランス人は実際にこれを行いました。彼らはパリ子午線の一部、つまりダンケルクからバルセロナまでの弧を物理的に測りました。彼らはフランスとスペインの一部に 115 個の三角形の連鎖を配置しました。これらの測定値に基づいて、彼らは真鍮の標準を作成しました。ちなみに、彼らは間違いを犯しました。彼らは地球の極の平坦化を考慮していませんでした。

もう一度、方程式に戻りましょう。これで、不正確さの原因がわかりました。π² と g の差は約 0.06 です。すべてを改革し、改善するさらなる試みがなければ、現在、メートルの値はわずかに異なり、π² = g という簡潔な方程式が使われていたでしょう。その後、科学者は、不変で再現可能な自然定数でメートルを定義する方法に戻りましたが、メートルの標準はもはや同じではありませんでした。