世界

数学者は数学の端を明らかにする可能性のある数を追いかけています

何が端に潜んでいますか？Kertlis/Getty Images アマチュアの数学者は、想像を絶するほどの膨大な数に閉じ込められています。 それはすべて、一見単純な質問に由来しています。コンピュータープログラムが永遠に実行されるかどうかをどのようにして知ることができますか？これに答えることは、数学者のアラン・チューリングから始まります。 1930年代に、彼は、より複雑なアルゴリズムがより多くの状態を必要とする、より複雑なアルゴリズムを使用して、状態と呼ばれる一連の命令に従うことにより、無限に長いテープに0と1を読み取り、書き込む単純な「チューリングマシン」を想像することで、コンピューターアルゴリズムを模倣できることを示しました。 5つまたは100などの多くの州で、対応するチューリングマシンは有限にありますが、これらの各マシンがどのくらいの期間実行されなければならないかは不明です。州の各数で可能な限り長い実行時間はビジービーバー数またはBB（n）と呼ばれ、このシーケンスは非常に急速に増加します。BB（1）は1、BB（2）は6ですが、5番目の忙しいビーバー数は47,176,870です。 次の忙しいビーバー数の正確な値である6番目は不明ですが、Busy Beaver Challengeと呼ばれるオンラインコミュニティはそれを発見しようとしています。2024年にBB（5）を発見し、40年の検索に終止符を打ちました。現在、「MXDYS」として知られるメンバーは、少なくとも非常に大きい数と同じ大きさであるに違いないことを発見しました。 「この数は物理的なものをはるかに超えています。面白くさえありません」と、ソフトウェアエンジニアでBusy Beaver Challengeの寄稿者であるShawn Ligocki氏は言います。彼は、すべての可能なチューリングマシンを介した検索を、暗闇の中で奇妙でエキゾチックなコードが泳ぐだけの深い数学的な海で釣りを比較します。 BB（6）への新しい境界は、指数を超越する数学的言語を必要とするほど大きいため、1つの数値を別のxのパワーに上げる慣行、またはnx、2日など、2*2*2 = 8です。最初に、テトロルがあり、時には書かれています xn 32は2の電力に上げられ、2の電力に昇進します。これは16に等しいです。 驚くべきことに、MXDYSは、BB（6）が少なくとも2つのテトロ化されていることを示しています。2は、9つにテトロ化された2つに照らされています。宇宙のすべての粒子の数は、比較してちっぽけに見えます、とligockiは言います。 しかし、忙しいビーバーの数字は、その馬鹿げたサイズのためだけに重要ではありません。チューリングは、ZFC理論の下で行動を予測できないいくつかのチューリングマシンがなければならないことを証明しました。彼は数学者のカート・ゲーデルの「不完全性定理」に触発されました。これは、ZFC自体の規則を使用して、理論がすべての矛盾から絶対に自由であることが保証されていることを証明することができないことを示しました。 「忙しいビーバー数の研究は、ほぼ1世紀前にジェデルとチューリングによって発見された現象を定量的かつ具体的にしている」とテキサス大学のオースティン校のスコット・アーロンソンは言う。 「チューリングマシンがZFCの能力を排除して、有限ポイントの後に動作を判断しなければならないと単に言うのではなく、6つの状態のマシンではすでに発生しているのか、600状態のマシンでしかありませんか？」研究者はこれまでのところ、BB（643）がZFC理論を排除することを証明していますが、少数の数の多くはまだ調査されていません。 「忙しいビーバーの問題は、数学的知識のフロンティアを熟考するための非常に完全な規模を与えます」と、2022年にBusy Beaver Challengeを開始したコンピューター科学者のTristanStérinは言います。 2020年、アーロンソンは、忙しいビーバー機能は「おそらく最初の100の価値ですべての興味深い数学的真実の大部分をコードする」と書いており、BB（6）も例外ではありません。コラッツの推測に関連しているようです。これは、数字で単純な算術操作を繰り返し、最終的に1になるかどうかを確認する有名な未解決の数学的問題です。そのようなマシンが停止することがわかった場合、推測のバージョンに計算証明があることを示します。 研究者が扱っている数字はその大きさが信じられないほどですが、忙しいビーバーフレームワークは、そうでなければ数学の理解不可能な領域になるためのメータースティックを提供します。ステリンの見解では、これが貢献者の多くを夢中にさせ続けるものです。彼は現在、BBの発見に常に取り組んでいる数十人がいると推定しています（6）。 停止挙動がチェックされていない数千の「ホールドアウト」チューリングマシンがまだあります、と彼は言います。 「角を曲がったところ、知らない機械があるかもしれません」とLigocki氏は言います。つまり、ZFCとは独立しており、現代の数学の範囲を超えています。 BB（6）の正確な値も角を曲がっているでしょうか？ LigockiとStérinはどちらも、忙しいビーバーの将来を予測するよりもよく知っていると言いますが、数を境界することでの最近の成功には、Ligockiに「もっと来るという直感」を与えます。 トピック： #数学者は数学の端を明らかにする可能性のある数を追いかけています