数学者は数十年にわたる問題を解決することで、幾何学の新たな分野の扉を開きました

の 一定の厚さまたは幅の固体 何十年にもわたって一部の数学者を魅了してきました。幾何学的形状にこだわると、これらの 3 次元オブジェクトは、どの方向から測定した場合でも、同じ幅を持つという特徴があります。これは、それらの対向する 2 つの辺の間の距離として理解されます。最も奇妙なことは、 この独特の幾何学形状により、これらの物体は球体のように回転することができます。たとえば、2 つの平らな面の間に配置するとします。しかし、それらは弾丸ではありません。さらに、幅が一定であるため、互いに転がるときの 2 つの平面間の距離は常に同じになります。

彼女の畑で ジオメトリ、言葉を超えられない場合、私たちが話していることを正確に理解するのは簡単ではありません。幸いなことに、この記事の表紙画像は、一定幅の立体がどのようなものであるかを非常によく示しています。もちろん、私たちが興味を持っているオブジェクトは右側のものであり、これは見慣れたものです。 ルーローの三角形として。静止しているときにそれを観察すると、それが球のように転がることができるということを受け入れるのは困難です。しかし、はい、それは流れます。これを確認するには、それに力を加えるだけで十分です。なぜそうなるのかというと、これまで見てきたように、厚さがどの方向でも同じだからです。

1988年に、氏は オーデッド・シュラム、数学の大学院生 プリンストン大学は、球よりも指数関数的に小さい任意の寸法で幅が一定の物体を構築できるかどうかを尋ねました。この文脈において、次のことを知っておくことが重要です。 球は 3 次元で最大の一定幅を持つオブジェクトです。シュラム氏の質問は大げさで、無関係にさえ思えるかもしれないが、まったくそんなことはない。これらは数学者が自問する種類の質問であり、多くの場合、その答えが見つかると、非常に重要な実用的な応用が可能な洞察が得られます。

あれから35年以上が経ち、ついに オデッド・シュラムの質問に対する答えが到着した。その作成者は、 4人のウクライナの数学者 そして アメリカ人。または 研究 幾何学の分野で彼らは道を交差させ、昨年5月末に彼らは次のことを証明した科学論文を発表した。 シュラムの質問に対する答えは、私。 球よりも指数関数的に小さい任意の寸法で一定の幅の物体を構築することが可能です。

一般に、シュラムの質問に肯定的に答えるために彼らがしたことは、まず次のようなことでした。 2次元ルーロー三角形。幾何学的な観点からこの物体の構築を可能にするアルゴリズムを使用すると、高次元で一定幅の固体を得ることができます。問題は、次元数が増加するにつれて、固定幅の最小物体と最大物体の体積の差が指数関数的に増大するため、このオブジェクトを作成することがますます困難になることです。このすべてのフレームワークの背後にある数学は複雑ですが、これらはシュラムが 80 年代後半に定式化した質問に対する答えを見つけることを可能にしたアイデアです。

いずれにせよ、学ぶことはさらに興味深いです これら 5 人の数学者の研究はどのような影響を与える可能性があるか。不思議なことに、 ルーローの三角形は長年にわたり実用化されてきました。。実際、一部のドリルの先端やギターのピック、ナットなどに使用されています。そして高次元では、によると アンドリー・アルマン、この研究に関わった数学者の一人、 固定幅ボディは、データセットの分析に最適な機械学習手法の開発に役立つ可能性があります 多数の変数に依存する。この取り組みのおかげで、 数学者 この分野で研究している人は これまでアクセスできなかったジオメトリの一部についにアクセスできるようになります。。

[via]