数学者は回転を元に戻すための隠された「リセットボタン」を発見した

コマを回転させてから静止させることを想像してください。まったく回さなかったかのように、コマをもう一度回して、開始位置とまったく同じ位置に戻る方法はありますか?驚くべきことに、そうです、ほぼすべてのオブジェクトの回転を元に戻すための普遍的なレシピを発見した数学者は言います。

直感的には、複雑な回転シーケンスを元に戻す唯一の方法は、まったく逆の動きを 1 つずつ丹念に実行することだと感じます。しかし、スイスのジュネーブ大学のジャン・ピエール・エックマン氏と韓国の蔚山国立科学技術研究院（UNIST）のツヴィ・トラスティ氏は、最初の回転のサイズを共通係数で変更する、スケーリングと呼ばれるプロセスを2回繰り返すという隠されたリセットボタンを発見した。

コマの場合、最初の回転でコマが 4 分の 3 回転していた場合、回転を 8 分の 1 にスケールして最初に戻り、それを 2 回繰り返してさらに 4 分の 1 回転させることができます。しかし、エックマンとトラスティは、はるかに複雑な状況でもこれを実行できることを示しました。

「実際には、これはスピン、量子ビット、ジャイロスコープ、ロボット アームなど、回転するほとんどすべての物体の特性です」とトラスティ氏は言います。 “もし [objects] すべての回転角度を同じ係数でスケールし、この複雑な軌道を 2 回繰り返すだけで、空間内の非常に複雑な経路を通過し、原点に戻るだけです。」

彼らの数学的証明は、3 つの空間次元で可能なすべての回転のカタログから始まります。 SO(3) として知られるこのカタログは、特殊なルールを持ち、ボールのように構造化された抽象数学空間を使用して記述できます。実空間での一連の回転によってオブジェクトを押し出す動作は、リンゴをトンネルで通過する虫のように、ボール内のある点から別の点に移動することに対応します。

複雑な方法でコマを回転させると、SO(3) 空間内の同等のパスはボールの中心から始まり、回転の詳細に応じてボール内の他の点で終了する可能性があります。回転を元に戻すという目標は、ボールの中心に戻る経路を見つけることと同じですが、中心は 1 つしかないため、これをランダムに実行できる可能性は低いです。

エックマンとトラスティが気づいたのは、SO(3) の構造の結果として、回転を途中で元に戻すことは、ボール表面の任意の場所に着地するパスを見つけることと同じであるということです。表面は多くの点で構成されているため、これは中心に到達しようとするよりもはるかに簡単だとトラスティ氏は言います。これが新たな証明の鍵となった。

エックマン氏によると、二人は、どこにも導かない数学的推論の緊張を追うことに多くの時間を費やしたという。最終的に機能したのは、ロドリゲスの公式と呼ばれる、その後の 2 つの回転を組み合わせる 19 世紀の公式と、数論として知られる数学の分野の 1889 年の定理でした。最終的に、研究者らは、リセットに必要なスケーリング係数がほぼ常に存在すると結論付けました。

エックマンにとって、この新しい研究は、回転の研究と同じくらいよく知られている分野においても、数学がいかに豊かであるかを示すものである。トラスティ氏は、例えば磁気共鳴画像法（MRI）の基礎である核磁気共鳴（NMR）などにおいても、実際的な影響をもたらす可能性があると述べている。ここでは、研究者は、外部磁場によって加えられた回転に対する内部の量子スピンの応答を研究することで、材料や組織の特性を学びます。新しい証明は、イメージングプロセスを妨げる不要なスピン回転を元に戻す手順の開発に役立つ可能性があります。

スイスのローザンヌ連邦工科大学のジョシー・ヒューズ氏は、この研究はロボット工学の進歩にもつながる可能性があると語る。たとえば、ローリング ロボットは、理論的には永久に継続できる信頼性の高いロール – リセット – ロール動作を含む、繰り返しセグメントのパスをたどるように作成できます。 「どんな固体のボディ形状の間でもモーフィングできるロボットがあれば、形状のモーフィングを通じて任意の希望のパスをたどることができると想像してみてください。」と彼女は言います。