数学者のゲルト・ファルティングス氏が60年来の謎を解き明かし、2026年のアーベル賞を受賞

ゲルト・ファルティングス氏は、1983 年に数学界に旋風を巻き起こした画期的な証明により、数学のノーベル賞とされる 2026 年のアーベル賞を受賞しました。彼の貢献は、現代数学の最も重要な分野の 1 つである数論幾何学の確立に貢献しました。

ファルティングスの最高の功績は、同じ研究で 1986 年に栄誉あるフィールズ賞を受賞したモーデル予想の証明でした。モーデル予想は、1922 年にルイ・モーデルによって最初に提案された長年の定理で、ますます複雑になる方程式が生成する解は少なくなると主張しています。

ドイツのマックス・プランク数学研究所に拠点を置くファルティングス氏は、このニュースを知ったときは「光栄だった」が、自分の業績が与える影響については控えめだったという。 「誰かが、エベレスト登山について、それはそこに山があるから問題だ、と言っていたんです」とファルティングスは言う。 「解決しました [the Mordell conjecture]しかし、結局のところ、それは癌やアルツハイマー病を治療することを可能にするものではなく、物事についての知識を拡張するだけです。」

モーデル予想はディオファントス方程式に関するもので、ピタゴラスの定理の a² + b² = c² や、フェルマーの有名な最終定理の中心となる aⁿ + bⁿ = cⁿ などの有名な方程式を含む広大なカテゴリです。モーデルは、これらのディオファントス方程式のうち、より一般的な形で無限に多くの解が存在するものと、有限の量しか存在しないものを理解したいと考えました。

これらの方程式を 2 次元数値の一種である複素数で書き換えて、球やドーナツのような面としてプロットすると、存在する解の数はその面に含まれる穴の数によって決まる、とモーデルは洞察しました。モーデルは、ドーナツよりも多くの穴がある表面の場合、有限数の有理解、つまり整数または分数を使用した解しか存在しないと直感しましたが、それを証明することはできませんでした。

60年以上経って、ファルティングスがついにモーデルの予感を証明したとき、数学者たちはその結果だけでなく、彼がどのようにそれに取り組んだのかにも驚かされた。彼の証明は、幾何学や算術など、一見異なる数学分野のアイデアを組み合わせたものでした。 「とても短いですが、奇跡のようです」とプリンストン高等研究所のアクシャイ・ヴェンカテシュ氏は言う。 「これはわずか 18 ページの論文で、さまざまなテクニックやさまざまな直感の間を複雑に飛び回っています。」

ファルティングス氏は、自分の成功は不確実性を許容できること、そして証明されていないかもしれないがうまくいくかもしれないという予感に基づいてリスクを負ったことにあると信じている。 「すべてをすぐに証明しようとする人々よりも先を行くこともありますが、道を誤ることもあります」とファルティングスは言う。

「彼の議論の印象的な点の 1 つは、その議論が非常に多くの内容をカバーしており、各部分がうまく噛み合う必要があるということです」とヴェンカテシュは言います。 「これらの部分がどのように組み合わされるのかまだ分からないのに、どうして彼は自信を持ってこれに着手できたのだろうかと人は思うでしょう。」

ファルティングスが解いた推測の多くと、モーデル証明の一部として彼が開発したツールは、今日の数学研究の最大の分野の基礎を形成しました。たとえば、形状の曲線とその構造の間の関連性を調べる p 進ホッジ理論などですが、私たちのものとはまったく異なる数体系が使用されています。 彼はまた、現代数学の画期的な発展にも直接影響を与えました。、アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明への道を切り開いたり、abc予想を証明したと物議を醸している日本の数学者望月新一を指導したりした。

ファルティングス氏は、これほど甚大な影響を与える問題に取り組むつもりはなかったと語る。 「私の考えは、自分を有名にしたりお金持ちにしたりするものに目を向けるべきではなく、自分が好きなものを見つけるように努めているということです」とファルティングスは言う。 「好きなことを仕事にするともっと楽しいから。」