宇宙がホログラムなら、この忘れ去られた数学で解読できるかもしれない

フォン・ノイマンと協力者のフランシス・マレーは最終的に 特定された 3 種類の作用素代数。それぞれ異なる種類の物理システムに適用されます。システムは、エンタングルメントとエントロピーと呼ばれる特性という 2 つの物理量によって分類されます。

物理学者は 1800 年代に蒸気機関を研究しているときにエントロピーを初めて発見しました。その後、エントロピーは不確実性の尺度であると理解されるようになりました。たとえば、ガスの温度はわかっていても、そのすべての分子の具体的な位置は不明です。エントロピーは、分子の位置と軌道の可能な状態がいくつあるかを数えます。同様に、量子システムでは、エントロピーは無知の尺度でもあります。量子システムと外の世界とのエンタングルメントにより、アクセスできない情報の量を示します。

フォン・ノイマン代数は、システムがどのようなエンタングルメントを持っているか、そしてそれに応じてそれをどれだけよく知ることができるかを指定します。

タイプ I 代数は最も単純です。これは、宇宙の残りの部分から完全に分離できる有限の数の部分を持つシステムを表します。したがって、システムの部分が外部とエンタングルメントした場合、その程度を正確に知ることができます。エントロピー (つまり、あなたの無知) は限られています。それが何であるかを常に正確に計算できます。ソルセは、このような代数を、水位がエントロピーを表すビーカーに例えています。底が見えるので、水の高さがわかります。

タイプ II 代数はもっと複雑です。この代数は、すべての部分が外部と密接に絡み合っている無限の数の部分を持つシステムを記述します。絶対エントロピーは無限であり、したがって無意味です。しかし、システムには参照点となる均一性があります。たとえば、すべての部分が外部と可能な限り絡み合っている可能性があります。次に、5 つの粒子を解きほぐすと、絡み合いが 5 単位減少したことがわかります。不確実性の絶対量はわかりませんが、以前よりも少し不確実性が少なくなっています。正確には、5 単位減少しています。ビーカーの底は見えませんが、水位が上昇または下降するとわかります。

最後のタイプ III は最悪です。これは、無限の部分、外部との無限の絡み合い、そして方向を把握するのに役立つ絡み合いの均一なパターンがないシステムを表します。エントロピーの変化さえも知ることができません。ビーカーの底は遠すぎて見えず、頭上の水位も同様です。

「タイプIIIはひどく、誰も対処したがりません」とペニントン氏は語った（「ひっくり返す」よりも強い言葉を使って）。

フォン・ノイマンとマレーが初めてタイプ III 代数に出会ったとき、彼らはそれが理解するにはあまりにも異質であると感じました。これらの代数の性質は、フランスの数学者アラン・コンヌが 1973 年にそれを定義できるようになるまで、30 年以上謎のままでした。この功績により、コンヌは数学界最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞しました。彼は、タイプ III 代数を際立たせているのは、モジュラーフローと呼ばれる恐ろしく技術的な特性に関係していると判断しました。

非常に大まかに言えば、モジュラーフローは時間の流れに似ていますが、より抽象的です。これは、システムを特定の温度にし、その温度を維持する物理的なプロセスです。室温のお茶は室温に保たれているため、モジュラーフロー（および通常の物理的時間）が自然に発生します。しかし、湯気の立つ熱いお茶の場合、モジュラーフローはお茶を永遠に熱く保つために必要な一連の操作です。お茶のすべての原子を常にいじくり回す必要があるため、自然に発生することはありませんが、数学的に指定できるプロセスです。コンヌは、タイプ III 代数は、周囲と非常に絡み合ったシステムを記述するため、システムのモジュラーフローも外部で起こっていることと切り離せないものになることに気づきました。

数学者、そして数人の勇敢な物理学者は、フォン・ノイマン代数とそのモジュラーフローの研究を続けた。しかし、量子重力の研究者がそれらの威力を理解するようになったのは、ここ数年のことである。

エイリアン代数

リューとロイトホイッサーは、ブラックホール内部で何が起きているのかを理解しようとしたとき、それを完全に滑らかなバルク時空の中に位置づけました。彼らは、変動する量子時空が境界上の有限数のエンタングルメント場とタイプ I 理論に対応することを知っていました。しかし、時空が滑らかになるように境界に場を追加すると、代数がタイプ I からタイプ III に変化することが分かりました。言い換えると、場の数が増え、エンタングルメントが増えるほど、時空は理想的な古典的なバージョンに近づくのです。

次に、彼らは、III 型代数のどうしようもなく絡み合ったモジュラー フローを使用して、その塊の中に潜むブラック ホールの内部をこっそりと覗き見しました。彼らは、ブラック ホールの外側にある測定装置をシミュレートする境界波紋の単純なパターンから始めて、III 型モジュラー フローを伴う特定の手順により、装置をブラック ホールの内部に持ち込み、時間の流れを測定できると主張しました。このプロセスにより、境界波紋の複雑なパターンがホログラフィック ブラック ホール内の時を刻む時計に相当するかどうかを決定するという Liu の目標が達成されました。

「これらの新しい構造は、創発的な時間をもたらします」とLiu氏は語った。

フォン・ノイマン代数を再発見した物理学者は彼らだけではなかった。他のグループもモジュラーフローを使ってブラックホールを理解しようとしていた。 2017年の提案例えば、ブラックホールの中に測定装置を持ち込み、それが外に出てくるように混ぜ合わせた。そして 2020年 研究者たちは、小さなブラックホールをより大きなブラックホールに発射し、小さなブラックホールのモジュラーフローを利用してそれを外に戻すことを想像した。

ソルセ氏は、 別のモジュールフロー手順 この春に発表された論文によると、これらのアルゴリズムはすべて、特異点付近で量子粒子がどのように振る舞うかを理解する、という単一の目標に向かって進んでいるという。特異点は現実の宇宙ではなくAdS空間に存在するが、ほとんどのホログラファーは、すべての時空構造が同じようにほつれるはずだと予想している。（ホログラフィーコミュニティ以外の物理学者は、この仮定に疑問を抱いている。）「AdS空間の特異点を量子レベルで理解できれば、我々の宇宙で特異点を理解できたと喜んで勝利を宣言できるだろう」とソルセ氏は語った。

リュー氏とロイトホイッサー氏は、数理物理学の辺境にあったものにスポットライトを当てた。「ホン氏の論文が出る前は、まるで夢のようでした」とカリフォルニア工科大学の数理物理学者エリオット・ジェストー氏は言う。「これは重要なはずだという予感はありましたが、この直感をどう正確に表現するかは明らかではありませんでした。」