数学者が 2,000 年前の曲線の問題に突破口を開く

数学者たちは、この分野で常に人気のある問題の 1 つに関して大きな進歩を遂げました。

彗星の軌道や株式市場の動向など、空間を通る波線である曲線は、数学の最も単純なオブジェクトの一部です。しかし、それらが何千年も研究されてきたにもかかわらず、数学者たちはそれらに関するいくつかの基本的な疑問がまだ答えられていないままになっています。

数論者は特に、座標が曲線上の特別な点を探し求めてきました。 ×–y 整数または分数のいずれかのグリッド。これらの貴重な点は、多くの場合、複雑かつ意味のある方法で相互に関連しています。 「私たちは数学者であり、構造を重視します」とハーバード大学ゲルハルト・ゲーデ大学教授のバリー・マズール氏は言う。この構造が役立つ場合もあります。たとえば、いわゆる楕円曲線上の有理点は、暗号学の分野全体を生み出しました。

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しかし、そこには膨大な曲線の動物園があり、多数の無限のファミリーで構成されており、それぞれが有理点の独自の構造を持っています。数論者は、あらゆる曲線に適用される具体的な数学的規則を見つけることを夢見てきました。しかし、そのような一方的な方式は長い間彼らを避けてきました。

それは数週間前に変わりました。 2月2日に投稿されたプレプリント論文の中で、3人の中国人数学者は、曲線が持つことができる有理点の数に史上初の厳しい上限を設けた。数学的な結果は無限です。

「これは本当に驚くべき結果であり、期待されるべきことの新たな基準を設定するものです」と、この研究には関与していないチリの教皇庁カトリック大学の数学者ヘクター・パステン氏は言う。

有限か無限か？

曲線は、多項式と呼ばれる単純な方程式によって数学的に表現されます。これらは基本的に、いくつかの変数を掛け合わせて加算したものです。

方程式を考えてみましょう ײ + y² = 1. の場合 × そして y が座標平面の 2 つの軸である場合、この方程式は円を表します。円上のすべての点は、この方程式の異なる解に対応します。たとえば、ポイントは、 × = 1 および y = 0 (座標ペア (1, 0) として記述) は円上にあります。 × そして y 方程式に代入すると 1 = 1 が得られ、これは有効な解です。

(1, 0) および ( を含むいくつかの解)³⁄₅、 ⁴⁄₅）、「合理的」、つまり両方を意味します × そして y は整数または整数の比率のいずれかです。他の解決策 (¹⁄_√2、 ¹⁄_√2）、「不合理」です。これらの値を代入すると、 × そして yとすると、方程式の有効な解が得られます。座標は円上に正しく配置されます。しかし、それらを整数やその比率で表現することはできません。

古代ギリシャの数学者は、曲線に沿った有理点を見つけることに夢中でした。彼らは、特定の曲線にこれらの特別な点がいくつあるのか疑問に思いました。これは数学の中で最も単純な問題の 1 つですが、何千年もの間数学者を悩ませてきました。 「これらの問題は数論の中心にあります」と、新しい結果の共著者であるトゥールーズ数学研究所の数学者、シェンシュアン・ジョウは言う。

円 (特定の種類の曲線) には、無限に多くの有理点があります。どちらでもない他の曲線にも同じことが当てはまります。 × または y これらの「次数 2」方程式には、常に有理点がまったくないか、無限に多くの有理点が存在します。 1 次の次数 3 の曲線上の有理点の数は、無限の場合もあれば、有限の場合もあります。

しかし、1922 年にルイス モーデルは、高次の方程式では状況が急激に変化することを示す有名な予想を立てました。曲線の次数が 4 以上の場合、有理点の数は常に有限であると述べられています。

61年後、ゲルト・ファルティングスはモーデルが正しいことを証明した。彼は数学界最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞した。しかし、現在ファルティングスの定理と呼ばれているモーデルの予想は、次のことについては何も述べていません。 幾つか これらの曲線が持つ点。

それ以来、数学者たちはこの質問に答える公式を探してきました。 「私たちが知っているのは、そこにあるということだけです は 「それはどこかにあるし、それは良いことですが、私たちはそれを望んでいます。」とパステン氏は言います。

あらゆる曲線に対するルール

そこで新しい証明が登場します。その著者らは、次数に関係なく、数学的世界のあらゆる曲線に適用できる式を提示しました。その曲線に有理点がいくつあるかは正確には示されていませんが、その数の上限は示されています。

この種の以前の式は、すべての曲線に適用されないか、曲線の定義に使用される特定の方程式に依存していました。新しい公式は、ファルティングスの証明以来数学者が望んでいたものであり、方程式の係数に依存せずにすべての曲線に適用される「均一な」記述です。 「この一言で、私たちは幅広い理解を得ることができます」とマズール氏は言う。

それはたった 2 つのことに依存します。 1 つ目は曲線を定義する多項式の次数です。次数が高くなるほど、ステートメントは弱くなります。式が依存する 2 番目のものは「ヤコビアン多様体」と呼ばれるもので、これは任意の曲線から構築できる特殊な曲面です。ヤコビアン多様体はそれ自体興味深いものですが、公式はヤコビアン多様体を研究するための興味深い道筋も提供します。

新しい結果は、曲線に無限の数の点があるかどうかだけでなく、曲線にある点の数を知るための最初のステップです。 「今後さらに多くの疑問が生じます」とパステン氏は言う。 「今ならもっと野心的になれる。」

曲線はまた、方程式によって切り出される形状の数学的世界への最初の足がかりにすぎません。追加の変数を含む多項式 × そして y 表面や「多様体」と呼ばれるその高次元の類似物など、より複雑なオブジェクトを生成できます。多様体は現代数学および理論物理学の中心であり、空間と時間をマッピングするために使用されます。

有理点に関するこれらすべての質問は、これらの高次元のオブジェクトにとっても重要です。たとえば、パステン氏と数学者のジャーソン・カロ氏は、2023年の論文で特定の曲面の有理点の数に上限を設けた。この新たな結果は、パステン氏に、このはるかに広範な探求におけるさらなる進歩への希望を与えた。

この発見は、曲線上の有理点に関する最近のいくつかの新しい結果のうちの 1 つです。総合すると、この急増は、この数千年にわたる物語の新たな章を意味するかもしれません。

「これはエキサイティングで変化の速い分野です」とマズール氏は言います。 「今、何か大きなことが起こっています。」