円周率という数字は、今も数学者たちを悩ませている古代の定数です。

私たちは円周率についてよく知っています。その非合理性 (つまり、2 つの整数の商ではない) は 18 世紀に証明され、その重要性 (整数の係数を持つ多項式の根ではない) は 19 世紀に証明されました。ずっと以前から、円周率は球の面積と体積の公式を求める上で中心的な役割を果たしており、これは古代の数学的知識のマイルストーンでした。

すでに 18 世紀に、レオンハルト・オイラーは当時有名な問題を解決しました。 バーゼル問題 パイの助けを借りて。彼は、正の整数の二乗の逆数の合計、つまりリーマン ゼータ関数が n=2 で取る値を評価し、値 (pi²)/6 を取得しました。円周率と直径の比である円周率が、整数と非常に正確に関係していることは驚くべきことです。各世代の数学者は、この等価性について独自の解釈と証明を生み出してきました。それ以上進むことなく、私は達成しました オイラー検定以外の検定数理物理学における相転移の研究からインスピレーションを受けています。

円周率の数値を計算するアルゴリズムの進歩は古代に遡ります。紀元前 3 世紀の偉大なアルキメデス。 C は、円の長さをその内接正多角形の長さで近似して、その小数点のいくつかを取得しました。ずっと後になって、高速変換に基づくアルゴリズムと、超幾何級数 (つまり、無限の数の和) およびモジュラー関数の方法が提案されました。そこでは、「無限を知った男」というタイトルで映画化されたデヴィッド・リービットの小説に登場するヒンドゥー教の会計士ラマヌジャンが登場します。ラマヌジャンは、非常に急速に収束する級数から円周率の驚くべき表現を取得したため、円周率の数、千、十進数を簡単に得ることができます。

10億桁

ラマヌジャンの公式は、ラトガース大学の教授であるデイビッド・チュドノフスキーとグレゴリー・チュドノフスキー兄弟の手によって、20世紀における円周率の微分積分学への最も重要な貢献の一つにつながりました。 1989年、チュドノフスキー夫妻は、ラマヌジャンの公式から導き出した公式と自宅に作ったスーパーコンピューターを併用して10億桁以上の円周率を計算し、当時の世界記録を樹立した。

サラゴサの数学者 ヘスス・ギレラ2 月 9 日に亡くなった彼は、超幾何関数 (数学的解析の古典的なオブジェクト) を使用して、円周率の新しい公式を発見しました。ギレラは、コンピュータの助けを借りてこれらをインテリジェントにリンクして、専門家を驚かせる式を取得し、円周率の計算の進歩につながる方法を知っていました。ギレラは気さくで素朴な態度の人で、彼の「実験的」公式を発表しましたが、後にその厳密な実証を達成するには技術と創意工夫が必要でした。

これらすべての進歩にもかかわらず、pi は依然として、電磁気学の方程式やアインシュタインの一般相対性理論の方程式など、予期せぬ理論や文脈との関連性を調査するための基本的な疑問を引き起こします。整数論では、円周率は正規数なのか?という重要な疑問が未解決のままです。つまり、一連の 10 進数の中で、そのサイズが示す頻度で、何らかの数字のパターンが繰り返されているか?

通常の数値には、その 10 進展開で、数値的に暗号化された、私たちが書くことができるあらゆるテキストが含まれています。ドン・キホーテ、ユークリッドの原論、オイラーの全集、21 世紀に勝利する小説…、すべてです。しかし、その情報が妥当な時間内に、つまり永遠に何年もかからないうちに公開される可能性は事実上ゼロです。

したがって、通常の数は、偉大なホルヘ・ルイス・ボルヘスが想像した素晴らしいバベルの図書館を具体化したものです。私たちは、ほとんどすべての実数が正規であることを知っています (実際、証明するのは簡単です)。ただし、特定の値、たとえば pi がそれであることを証明することは非常に困難です。既知の 3,140 億個の小数値を統計的に分析すると、そのランダム性が示されているようです。つまり、事実上、考えられるすべての数値と組み合わせが予想される頻度で出現することになります。しかし、円周率が実際に正規数であるという数学的証明はまだありません。

それを証明すること、または反証することは、依然として研究が続けられている未解決の問題であり、円周率を依然として取り囲む大きな謎の 1 つとなっています。

*著者: アントニオ コルドバはマドリード自治大学の名誉教授であり、「フリオ レイ牧師」国家研究賞を受賞しています。

編集およびコーディネート: Ágata Timón (ICMAT-CSIC)

*Between theorems は、数理科学研究所 (CSIC-UAM-UC3M-UCM) が推進するすべての聴衆を対象とした数学セクションです。