新しい証明により、粘着性のある幾何学問題の針が動く

オリジナルバージョン の この話 に登場 クアンタマガジン。

1917 年、日本の数学者掛谷宗一は、最初は幾何学の楽しい練習にしか見えなかったものを提案しました。 無限に細く、長さ 1 インチの針を平らな面に置き、順番にあらゆる方向を向くように回転させます。 針が掃除できる最小の面積はどれくらいですか?

中心を中心に回転させると円が得られます。 しかし、創意に富んだ方法で針を動かして、より小さなスペースを切り開くことは可能です。 それ以来、数学者たちは、カケヤ予想と呼ばれる、この疑問に関連したバージョンを提示しました。 それを解決しようとする試みの中で、彼らは調和解析、数論、さらには物理学との驚くべきつながりを発見しました。

エディンバラ大学のジョナサン・ヒックマン氏は、「どういうわけか、さまざまな方向を指すこの線の幾何学構造は、数学の大部分に遍在している」と述べた。

しかし、それは数学者がまだ完全に理解していないことでもあります。 ここ数年、彼らはより簡単な設定で掛谷予想のバリエーションを証明しましたが、この問題は通常の 3 次元空間では未解決のままです。 たとえそれが多くの数学的結果をもたらしたとしても、しばらくの間、このバージョンの予想ではすべての進歩が停滞したかのように見えました。

今、二人の数学者がいわば針を動かしました。 彼らの新たな証拠は、数十年にわたって立ちはだかった大きな障害を打ち破り、ついに解決策が見えてくるかもしれないという希望を再燃させた。

スモールディールとは何ですか?

掛谷さんは、あらゆる方向に長さ 1 の線分を含む平面内の集合に興味を持ちました。 このような集合の例は数多くありますが、最も単純なものは直径 1 の円盤です。掛谷氏は、そのような集合の最小のものはどのようなものになるかを知りたいと考えていました。

彼は、三角筋と呼ばれる、円板の半分の面積を持つ、側面がわずかに凹んだ三角形を提案しました。 しかし、もっとずっと良くできることが判明しました。

掛谷氏が問題を提起してからわずか数年後の 1919 年に、ロシアの数学者アブラム ベシコビッチは、針を非常に特殊な方法で配置すれば、任意の小さな面積を持つとげのある集合体を構築できることを示しました。 (第一次世界大戦とロシア革命のため、彼の成果は何年も数学界の他の人々に届くことはありませんでした。)

これがどのように機能するかを確認するには、三角形を取り、その底辺に沿って薄い三角形の部分に分割します。 次に、これらの部分をスライドさせて、できるだけ重なるようにしますが、わずかに異なる方向に突き出るようにします。 このプロセスを何度も繰り返すことにより、三角形をより薄いフラグメントに再分割し、それらを空間内で慎重に再配置することで、セットを必要なだけ小さくすることができます。 無限の極限では、数学的には面積を持たないが、逆説的に、任意の方向を指す針を収容できる集合を取得できます。

カリフォルニア大学バークレー校のRuixiang Zhang氏は、「それはある意味驚くべきことであり、直観に反することだ」と語った。 「非常に病的なセットだ」